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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.8 - Ex. 17

Uma partícula se move ao longo dos segmentos de reta da origem aos pontos 1,0 , 0 ,   1,2 , 1 ( 0,2 , 1 ) e de volta para a origem sob a influência do campo de forças

F → = z 2 i → + 2 x y j → + 4 y 4 k →

Encontre o trabalho feito.

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Para calcular o trabalho, vou usar a outra forma do Teorema de Stokes, do lado direito:

∫ C F → ⋅ d r → = ∬ S c u r l   F → ⋅ d S

E para começar ,vou calcular o rotacional de F → :

∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z z 2 2 x y 4 y 2 = i → ∂ ∂ y ( 4 y 2 ) - ∂ ∂ z ( 2 x y ) + j → ∂ ∂ z ( z 2 ) - ∂ ∂ x ( 4 y 2 ) + k → ∂ ∂ x ( 2 x y ) - ∂ ∂ y ( z 2 )

Daí temos:

∇ × F → = 8 y , 2 z , 2 y

Passo 2

Agora vamos encontrar a função z = g x , y . Como a região S é a parte do plano z = 1 2 y do primeiro octante, então a função z é:

z = g x , y = 1 2 y

E o vetor normal à superfície é:

n → = - ∂ g ∂ x ,   - ∂ g ∂ y ,   1

Aplicando na função g temos:

n → = 0 , - 1 2 , 1

E o produto escalar entre ∇ × F → e n → é:

  ∇ × F → ⋅ n → = 8 y , 2 z , 2 y ⋅ 0 , - 1 2 , 1 = - z + 2 y = - y 2 + 2 y = 3 y 2

Passo 3

Legal! E agora a região de integração. É em z = 1 2 y e os limites de x e y são:

0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 2 0 ≤ z ≤ 1 2 y

No plano x y , temos z = 0 . E o diferencial de área é d A = d y d x . Agora é só colocar tudo na integral!

Passo 4

Relembrando lá do passo 1 o Teorema de Stokes:

∫ C F → ⋅ d r → = ∬ S c u r l   F → ⋅ d S = ∬ S ∇ × F → ⋅ n → d A

∬ S ∇ × F → ⋅ n → d A = ∫ 0 1 ∫ 0 2 3 y 2 d y d x = ∫ 0 1 3 2 y 2 2 y = 0 2 d x = ∫ 0 1 3 d x  

∬ S ∇ × F → ⋅ n → d A = 3 x 0 1 = 3

Assim o trabalho realizado é 3 .

Resposta

∫ C F → ⋅ d r → = 3

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