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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.8 - Ex. 12

  1. Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ C F → ⋅ d r → ,   onde

    2. F → x , y , z = x 2 y i → + x 3 3 j → + x y k →

    e C é a curva da intersecção do paraboloide hiperbólico   z = y 2 - x 2 com o cilindro x 2 + y 2 = 1 com orientação no sentido anti-horário quando visto de cima.

  2. Trace o gráfico do paraboloide hiperbólico e do cilindro com domínios escolhidos de forma a ver a curva C e a superfície que você usou na parte ( a ) .
  3. Determine as equações paramétricas para C e use-as para traçar o gráfico de C .

Passo 1

Fala, pessoal! Tranquilo?

A questão tem 3 partes: a parte a) pede para usarmos o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha:

∫ C F → ⋅ d r →

Onde o campo vetorial é:

F → x , y , z = x 2 y i → + x 3 3 j → + x y k →

e C é a curva da intersecção do paraboloide hiperbólico  

z = y 2 - x 2

com o cilindro

x 2 + y 2 = 1

O Teorema de Stokes traz que:

∫ C F ⋅ d r = ∬ S r o t F ⋅ d S

Onde:

d S = n   d A

Ou seja, podemos calcular a integral dupla do rotacional de F para obter o valor da nossa integral de linha. Aqui, n é nosso vetor perpendicular à superfície. Então nossa integral será:

∬ S r o t F ⋅ d S = ∬ S r o t F ⋅ n   d A

Então, vamos precisar calcular o rotacional de F , achar o valor do vetor n e fazer o produto escalar entre eles. Daí, teremos uma integral dupla, que basta resolvermos para chegarmos no valor da integral de linha que o exercício pediu.

Depois, pede para traçarmos o gráfico do plano e do cilindro para visualizarmos a curva C da parte a). Daí vamos pra parte c), onde vamos precisar parametrizar essa curva e traçar o gráfico de C usando essas equações paramétricas.

Vamos lá!

Passo 2

  1. Vamos começar encontrando nosso vetor normal n :

    2. A curva de fronteira está na superfície

    z = y 2 - x 2

    na região do círculo

    x 2 + y 2 = 1

    no plano x y .

    Assim

    z = g x , y = y 2 - x 2

    Para uma superfície parametrizada por:

    r x , y = x , y , g x , y

    Que é nosso caso, o cálculo do vetor normal a essa superfície vai ser:

    n → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1

    Substituindo:

    n → = - ∂ y 2 - x 2 ∂ x ,   - ∂ y 2 - x 2 ∂ y ,   1

    Resolvendo as derivadas parciais, temos:

    n → = ( 2 x ,   - 2 y , 1 )

    Passo 3

    Legal! O próximo passo é determinar o rotacional de F → :

    r o t F = ∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x 2 y x 3 3 x y =

    = i → ∂ ∂ y ( x y ) - ∂ ∂ z ( x 3 / 3 ) + j → ∂ ∂ z ( x 2 y ) - ∂ ∂ x ( x y ) + k → ∂ ∂ x ( x 3 / 3 ) - ∂ ∂ y ( x 2 y )

    Calculando as derivadas parciais:

    r o t F = ∇ × F → = x , - y , 0

    O produto escalar entre ∇ × F → e n → fica:

    ∇ × F → ⋅ n → = x , - y , 0 ⋅ 2 x ,   - 2 y , 1 = 2 ( x 2 + y 2 )

    Passo 4

    Substituindo na nossa integral:

    ∬ S r o t F ⋅ n   d A

    Ficamos com:

    ∬ S 2 ( x 2 + y 2 )   d A

    Legal! O próximo passo é determinar a região de integração. A projeção no plano x y é:

    x 2 + y 2 = 1

    Ou seja, um círculo de raio 1 . Como temos uma circunferência completa, de raio 1 , centrada na origem, os limites de integração são

    0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2 π

    E o elemento de área vai ser:

    d A = r d r d θ

    Também usamos a equação:

    x 2 + y 2 = r 2

    então, nossa integral se torna:

    ∬ S 2 x 2 + y 2   d A = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 2   r   d r   d θ

    Passo 5

    Agora é calcularmos a integral:

    2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 r d r d θ =

    Multiplicando os termos:

    2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 d r d θ =

    Começando pela integral em r que é a integral de dentro:

    = 2 ∫ 0 2 π r 4 4 0 1 d θ

    Aplicando os limites de integração, sobra a integral em θ :

    2 ⋅ 1 4 4 ∫ 0 2 π d θ

    Resolvendo a integral em θ :

    ∬ S c u r l   F → ⋅ d S = 1 2 . 2 π = π

    Passo 6

  2. Vamos para a parte b). Plotando o gráfico do paraboloide hiperbólico

    3. z = y 2 - x 2

    com o cilindro

    x 2 + y 2 = 1

    Temos:

    A interseção entre o cilindro e o paraboloide hiperbólico é justamente a curva C da nossa integral de linha:

    Passo 7

  3. Fazemos agora a parametrização dessa curva C . Ela é dada pela interseção das curvas:

z = y 2 - x 2

e

x 2 + y 2 = 1

Usando coordenadas cilíndricas:

x = cos ⁡ t

y = s e n t

Reescrevendo z em função dos parâmetros, temos:

z = s e n t 2 - cos ⁡ t 2

Resposta

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = π

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