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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.8 - Ex. 16

Seja C uma curva fechada simples lisa que está no plano x + y + z = 1 . Mostre que a integral de linha

∫ C z d x - 2 x d y + 3 y d z

depende apenas da área da região englobada por C e não da forma de C ou de sua posição no plano.

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos reescrever essa integral como o produto escalar entre um vetor F → e um diferencial d r → :

∫ C z d x - 2 x d y + 3 y d z = ∫ C z , - 2 x , 3 y ⋅ ( d x , d y , d z )

Pois bem! Agora vou usar o outro lado do Teorema de Stokes:

∫ C F → ⋅ d r → = ∬ S ∇ ×   F → ⋅ d S = ∬ S ∇ × F → ⋅ n → d A

Então agora nosso próximo passo é determinar o rotacional do campo F → .

Passo 2

Assim o rotacional de F → = z , - 2 x , 3 y é:

∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z z - 2 x 3 y = i → ∂ ∂ y ( 3 y ) - ∂ ∂ z ( - 2 x ) + j → ∂ ∂ z ( z ) - ∂ ∂ x ( 3 y ) + k → ∂ ∂ x ( - 2 x ) - ∂ ∂ y ( z )

∇ × F → = 3,1 , - 2

Beleza!

Passo 3

Agora precisamos de um vetor normal à superfície S . A curva C está sob o plano x + y + z = 1 , então é essa a superfície S que queremos.

A função z = g x , y é:

z = g x , y = 2 - y - 2 x

E o vetor normal à superfície é:

n → = - ∂ g ∂ x ,   - ∂ g ∂ y ,   1

Aplicando na função g temos:

n → = 1,1 , 1

Como n → deve ser unitário, vamos dividir pelo seu módulo:

n → = 1 3   , 1 3 , 1 3

Passo 4

Quase lá! Agora vamos calcular o integrando ∇ × F → ⋅ n → :

∇ × F → ⋅ n → = 3,1 , - 2 ⋅ 1 3 1,1 , 1 = 3 + 1 - 2 3 = 2 3

Esse valor é constante! Então o integrando de ∬ S ∇ × F → ⋅ n → d A é constante e pode sair para fora da integral!

Tá mas o que isso quer dizer? Lembrando do Teorema de Stokes:

∫ C F → ⋅ d r → = ∬ S ∇ × F → ⋅ n → d A

E o que originalmente estávamos calculando:

∫ C z d x - 2 x d y + 3 y d z = ∫ C F → ⋅ d r → = ∬ S ∇ × F → ⋅ n → d A = 2 3 ∬ S d A

Que significa exatamente:

2 3 A

Onde A é a área da superfície S .

Quer dizer que a integral de linha da extremidade da esquerda, quando comparada com a extremidade da direita, só depende da área englobada pela curva C , e não da sua forma e nem de sua orientação!

Resposta

∫ C F → ⋅ d r → = ∬ S ∇ × F → ⋅ n → d A = 2 3 ∬ S d A

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