Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 76

Uma partícula move-se com aceleração m/s² ao longo de um eixo e tem velocidade m/s no instante . Encontre o deslocamento e a distância percorrida por ela durante os intervalos de tempo dados.

Passo 1

Vamos lá, sabemos que a aceleração o a velocidade são das formas:

Usando a equação da aceleração:

Vamos integrar os dois lados para encontrar a equação da velocidade:

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição:

Substituindo:

Temos então que:

Agora para achar a constante vamos usar a velocidade m/s no instante :

Assim, a velocidade é da forma:

Passo 2

Pronto, temos que o deslocamento é a integral da velocidade avaliada ao longo do intervalo especificado, e para encontrar o deslocamento vamos integrar a expressão da velocidade usando os limites de integração como os extremos do intervalo, vamos lá:

Fazendo a mesma substituição que foi feito no passo atrás:

Pronto, o deslocamento é de m.

Passo 3

Já a distância percorrida é a integral do valor absoluto da velocidade avaliada ao longo do intervalo especificado, que vai a expressão com módulo, da forma:

Como a expressão tem módulo, vamos achar onde ela é negativa e onde é positiva, como a expressão está dentro de uma raiz quadrada, não há como ser negativa, então a integral fica: