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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 76

Uma partícula move-se com aceleração a t m/s² ao longo de um eixo s e tem velocidade v 0 m/s no instante t = 0 . Encontre o deslocamento e a distância percorrida por ela durante os intervalos de tempo dados.

a t = 1 5 t + 1 ;         v 0 = 2 ;           0 ≤ t ≤ 3

Passo 1

Vamos lá, sabemos que a aceleração o a velocidade são das formas:

a t = d v t d t

v t = s t d t

Usando a equação da aceleração:

a t = d v t d t → 1 5 t + 1 = d v t d t → 1 5 t + 1 d t = d v t

Vamos integrar os dois lados para encontrar a equação da velocidade:

∫ 1 5 t + 1 d t = ∫ d v t → ∫ 1 5 t + 1 d t = ∫ a t d t → ∫ 1 5 t + 1 d t = v t

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição:

u = 5 t + 1

d u = 5 + 0   d t = 5 d t

Substituindo:

∫ 1 5 t + 1 d t = ∫ 1 5 u d t = 1 5 ∫ 1 u 1 2 d t = 1 5 ∫ u - 1 2 d t = 1 5 ⋅ u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + C = 1 5 ⋅ u 1 2 1 2 + C =

= 2 u 5 + C = 2 5 t + 1 5 + C

Temos então que:

v t = 2 5 t + 1 5 + C

Agora para achar a constante C vamos usar a velocidade v 0 m/s no instante t = 0 :

v 0 = 2 5 ⋅ 0 + 1 5 + C = 2 → 2 1 5 + C = 2 → 2 5 + C = 2 → C = 2 - 2 5 → C = 10 - 2 5 →

→ C = 8 5

Assim, a velocidade é da forma:

v t = 2 5 t + 1 5 + 8 5

Passo 2

Pronto, temos que o deslocamento é a integral da velocidade avaliada ao longo do intervalo especificado, e para encontrar o deslocamento vamos integrar a expressão da velocidade usando os limites de integração como os extremos do intervalo, vamos lá:

s t = ∫ 0 3 2 5 t + 1 5 + 8 5 d t = ∫ 0 3 2 5 t + 1 5 d t + ∫ 0 3 8 5 d t

Fazendo a mesma substituição que foi feito no passo atrás:

s t = ∫ 0 3 2 5 t + 1 5 d t + ∫ 0 3 8 5 d t = ∫ 1 16 2 u 5 ⋅ 5 d u + 8 t 5 0 3 = ∫ 1 16 2 u 1 2 25 d u + 8 ⋅ 3 5 - 8 ⋅ 0 5 =

= 2 25 ⋅ u 1 2 + 1 1 2 + 1 1 16 + 8 ⋅ 3 5 - 8 ⋅ 0 5 = 2 25 ⋅ u 3 2 3 2 1 16 + 24 5 = 2 25 ⋅ 2 u 3 2 3 1 16 + 24 5 =

= 2 25 ⋅ 2 ⋅ 16 3 2 3 - 2 ⋅ 1 3 2 3 + 24 5 = 2 25 ⋅ 2 ⋅ 64 3 - 2 ⋅ 1 3 + 24 5 = 2 25 ⋅ 128 3 - 2 3 + 24 5 =

= 2 25 ⋅ 126 3 + 24 5 = 84 25 + 24 5 = 84 + 120 25 = 204 25

Pronto, o deslocamento é de - 6 m.

Passo 3

Já a distância percorrida é a integral do valor absoluto da velocidade avaliada ao longo do intervalo especificado, que vai a expressão com módulo, da forma:

s t = ∫ 0 3 1 5 t + 1 + 8 5 d t

Como a expressão tem módulo, vamos achar onde ela é negativa e onde é positiva, como a expressão está dentro de uma raiz quadrada, não há como ser negativa, então a integral fica:

s t = ∫ 0 3 2 5 t + 1 5 + 8 5 d t = 204 25

E a distância percorrida é também de 204 25 m.

Resposta

204 25 m e 204 25 m

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Resolva os problemas de valor inicial.(d y)/(d x) = (x + 1)/(sqrt(x)) , y (1) = 0
Resolva os problemas de valor inicial.(d y)/(d x) = (x^2 - 1)/(x^2 + 1) , y (1) = (pi)/(2)
Resolva os problemas de valor inicial.(d y)/(d t) = sec^2 t - sin t , y ((pi)/(4)) = 1
Resolva os problemas de valor inicial.(d y)/(d t) = (1)/(t) , y (- 1) = 5
Resolva os problemas de valor inicial.(d y)/(d t) = sin t + 1 , y ((pi)/(3)) = (1)/(2)