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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 46b

Resolva os problemas de valor inicial.

(d y)/(d x) = (x^2 - 1)/(x^2 + 1) , y (1) = (pi)/(2)

Passo 1

Bom galera, pra começar a gente primeiro precisa encontrar a função y , pra isso, é só a gente integrar, e ficamos assim:

y = int (x^2 - 1)/(x^2 + 1) d x

A gente também pode escrever isso assim:

y = int 1 - (2)/(x^2 + 1) d x

E com a propriedade da soma a gente pode dividir essa integral em duas, bem assim:

y = int 1 d x - 2 int (1)/(x^2 + 1) d x

Resolvemos:

y = x - 2 arctan x + C

Passo 2

Beleza, agora o problema de valor inical, a gente usa o que temos para formar uma equação e encontrar-mos o valor da constante C :

y (1) = (pi)/(2) = ( 1 ) - 2 arctan ( 1 ) + C

-> (pi)/(2) = 1 - 2 * (pi)/(4) + C

-> C = (pi)/(2) - 1 + (pi)/(2) = pi - 1

Passo 3

Show de bola pessoal, por fim a gente só substitui na integral que já calculamos no passo 1, e então ficamos com a função inicial:

y (x) = x - 2 arctan x + pi - 1

Resposta

y (x) = x - 2 arctan x + pi - 1

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