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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.8 - Ex. 104

Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 91-112.

Passo 1

O primeiro passo que pode ser feito para encontrar a solução do P.V.I. é integrar a expressão diferencial que o enunciado nos dá.

Assim, o resultado da integral irá nos dar a função primitiva da derivada, na qual podemos substituir os valores da condição inicial a fim de encontrarmos a equação desejada.

Passo 2

Portanto,

d v d t = 8 1 + t 2 + s e c ² t → d v = 8 1 + t 2 + s e c ² t d t

v = ∫ 8 1 + t 2 + s e c ² t d t = 8 a r c t g t + t g t + C

Passo 3

O exercício nos dá uma condição inicial na qual diz que v = 1 quando t = 0 . Com esses valores é possível descobrir o valor da constante e, assim, saber qual é a equação final. Logo:

v = 8 a r c t g t + t g t + C

1 = 8 a r c t g 0 + t g 0 + C ∴   C = 1

Então, a equação correta é v = 8 a r c t g t + t g t + 1 .

Resposta

A solução do P.V.I. é v = 8 a r c t g t + t g t + 1 .

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