Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.9 - Ex. 46
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Passo 1
Fala meus consagrados!
Nessa questão temos uma segunda derivada de uma função:
E queremos encontrar a função
Para achar vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função é chamada de antiderivada de :
E se é uma antiderivada de nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de :
onde é uma constante qualquer, afinal, quando derivamos a constante obtemos zero, logo somar uma constante a não muda em nada sua derivada.
Aqui vai nos ajudar saber a regra de antiderivada da função seno e da função cosseno:
Também vai ajudar saber a regra da antiderivada para a constante e para o polinômio:
E por fim a regra para a exponencial:
Os valores que foram dados que são:
Vão ser usados para se encontrar as constantes e que irão aparecer.
Para achar vamos ter que achar a antiderivada duas vezes, vamos lá!
Passo 2
Primeiramente, iremos encontrar a antiderivada de .
Para isso, utilizaremos as regras de derivação de funções trigonométricas e exponenciais, ficando com
Para o primeiro termo teremos:
E para o segundo termo teremos:
Agora somando tudo com uma constante teremos:
Derivando , temos
Dessa forma, é a antiderivada de .
Passo 3
Encontrando agora a antiderivada de , temos
Para o primeiro termo teremos:
Para o segundo termo teremos:
E para o último termo temos:
Agora somando tudo com uma constante nova teremos:
Derivando , temos
Dessa forma, é a antiderivada de .
Passo 4
Aplicando agora as condições do problema, podemos encontrar o valor das constantes e . Aplicando , temos
Aplicando , temos