Uma partícula move-se ao longo do eixo x com função velocidade v ( t )=t 2e - t . Qual é a distância percorrida por ela do instante t=0 até o instante t=5 ?

Enunciado

Cara, para fazer essa, precisamos lembrar que:

E aí podemos dizer:

Então, para achar a distância percorrida para os dados do enunciado, precisamos calcular essa integral:

Vamos lá!

Como temos o produto entre duas funções, podemos usar a integração por partes.

Precisamos montar a fórmulinha:

Podemos usar a regrinha do LIATE (log, inversa trigonométrica, algébrica, trigonométrica e exponencial) para escolher .

Vemos que nosso integrando é um produto entre uma função algébrica () e uma exponencial (). Então pela regrinha:

Para achar precisamos integrar . Podemos tentar uma substituição simples:

Substituindo na nossa integral e calculando:

Agora a gente pode usar a fórmulinha:

Substituindo o que a gente tem:

Apareceu outra integral que é o produto de duas funções. Vamos precisar integrar por partes de novo.

Essa é a integral que temos que calcular:

Podemos usar a regrinha do LIATE de novo para escolher .

Vemos que nosso integrando é um produto entre uma função algébrica () e uma exponencial (). Então pela regrinha:

Já vimos que:

Usando a fórmulinha, substituindo o que a gente tem e calculando a integral que aparecer:

Agora é só substituir isso nas nossas continhas: