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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.7 - Ex. 6

Uma partícula move-se ao longo de um eixo s . Use a informação dada para encontrar sua função posição:

a )   v t = 1 + s e n   t       s 0 = - 3

b )   a t = t 2 - 3 t + 1       v 0 = 0 ,     s 0 = 0

Passo 1

Fala aí, como vai?

Pra essas questões você tem que ter em mente umas coisinhas sobre posição, velocidade e aceleração.

Resumindo pra você, é o seguinte:

s t = ∫ v t   d t

v t = ∫ a t   d t

Sabendo disso fica mais fácil né?

Bora lá então...

Passo 2

  1. Aqui a gente tem v ( t ) e quer s ( t ) . A gente já sabe que é só integrar:

    2. s t = ∫ 1 + s e n   t   d t = t - cos ⁡ t + C

    Agora a gente aplica a condição inicial de s 0 = - 3 para achar o valor desse C aí:

    s 0 = 0 - cos ⁡ 0 + C = - 3

    - 1 + C = - 3

    C = - 2

    Nossa função posição então é:

    s t = t - cos ⁡ t - 2

    Passo 3

  2. Agora aqui a gente tem a aceleração e quer a posição.

Vamos por partes. Primeiro a gente vai achar a função velocidade, fechou?

Bora!

v t = ∫ t 2 - 3 t + 1   d t = t 3 3 - 3 t 2 2 + t + C

E a gente tem a condição de que v 0 = 0 . Então...

v 0 = 0 3 3 - 3 0 2 2 + 0 + C = 0

C = 0

A função velocidade então é:

v t = t 3 3 - 3 t 2 2 + t

Passo 3

Agora que a gente tem a função velocidade, a gente integra e acha a função posição:

s t = ∫ t 3 3 - 3 t 2 2 + t   d t = t 4 12 - 3 t 3 6 + t 2 2 + K

= t 4 12 - t 3 2 + t 2 2 + K

E usando a condição inicial que s 0 = 0 , a gente tem:

s 0 = 0 4 12 - 0 3 2 + 0 2 2 + K = 0

K = 0

Então a função posição é:

s t = t 4 12 - t 3 2 + t 2 2  

E acabamos😉

Resposta

  1. s t = t - cos ⁡ t - 2

  2. s t = t 4 12 - t 3 2 + t 2 2  
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