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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 30

Use a fórmula do comprimento de arco do Exercício 26 para encontrar o comprimento de arco da curva.

x = cos ⁡ t + t   s e n   t ,       y = s e n   t - t cos ⁡ t ,     ( 0 ≤ t ≤ π )

Passo 1

E aí, tudo joia?

A gente vai usar essa fórmula aqui ó:

∫ a b d x d t 2 + d y d t 2   d t

Então, a gente vai derivar cada uma em função de t . Bora lá!

Passo 2

A gente tem que:

d x d t =   - s e n   t + s e n   t + t c o s t = t cos ⁡ t    

d y d t = cos ⁡ t - cos ⁡ t + t   s e n   t = t   s e n   t

Aí a gente joga na fórmula:

= ∫ 0 π t cos ⁡ t 2 + t   s e n   t 2   d t

= ∫ 0 π t 2 cos 2 ⁡ t + t 2 s e n 2 t   d t

= ∫ 0 π t 2 cos 2 ⁡ t + s e n 2 t   d t

E pela identidade trigonométrica fundamental, a gente sabe que:

= ∫ 0 π t 2 ( 1 )   d t

= ∫ 0 π t   d t

= t 2 2 0 π = π 2 2

E prontinho! Achamos o comprimento da curva😉

Resposta

π 2 2

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