Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.4 - Ex. 53
Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta, de acordo com a equação de movimento
Onde é a distância orientada da partícula até a origem em . Se e forem a velocidade e a aceleração, respectivamente, da partícula em , ache e . Mostre também que é a soma de dois números, um dos quais é proporcional a e o outro proporcional a .
Passo 1
Para calcularmos a velocidade e a aceleração a partir da equação do movimento, temos que lembrar que:
Então basicamente o que temos que fazer é derivar a posição para achar a velocidade e depois derivar a velocidade para achar a aceleração.
Pelo enunciado:
Vamos usar a regra do produto para derivar essa parada
Lembrando que
Vamos ter
Passo 2
Agora vamos para a aceleração, para isso vamos usar de novo a regra do produto em cada termo da expressão da velocidade:
Juntando o que da para juntar:
Passo 3
Vamos mostrar agora o que ele pediu. Que é a soma de dois números um proporcional a outro a .
Vamos olhar as duas expressões, de e :
Tudo se resume a escrever
E
Em função de e .
Já temos de forma direta que:
Então, substituindo isso na expressão de
Então vamos ter:
Passo 4
Agora, vamos substituir as duas expressões pelas equivalentes em e na equação da aceleração:
Então, vamos ter