Enunciado

Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta, de acordo com a equação de movimento

s = e - c t 2 A senh ⁡ t + B cosh ⁡ t

Onde s   c m é a distância orientada da partícula até a origem em t   s . Se v   c m / s   e a   c m / s 2 forem a velocidade e a aceleração, respectivamente, da partícula em t   s , ache v e a . Mostre também que a é a soma de dois números, um dos quais é proporcional a s e o outro proporcional a v .

Passo 1

Para calcularmos a velocidade e a aceleração a partir da equação do movimento, temos que lembrar que:

v = d s d t

a = d v d t

Então basicamente o que temos que fazer é derivar a posição para achar a velocidade e depois derivar a velocidade para achar a aceleração.

Pelo enunciado:

s = e - c t 2 A senh ⁡ t + B cosh ⁡ t

Vamos usar a regra do produto para derivar essa parada

v = d s d t = e - c t 2 ' A senh ⁡ t + B cosh ⁡ t + e - c t 2 A senh ⁡ t + B cosh ⁡ t '

Lembrando que

senh ⁡ x ' = cosh ⁡ x

cosh ⁡ x ' = senh ⁡ x

Vamos ter

v = - c 2 e - c t 2 A senh ⁡ t + B cosh ⁡ t + e - c t 2 A cosh ⁡ t + B senh ⁡ t

Passo 2

Agora vamos para a aceleração, para isso vamos usar de novo a regra do produto em cada termo da expressão da velocidade:

a = d v d t = - c 2 e - c t 2 ' A senh ⁡ t + B cosh ⁡ t + - c 2 e - c t 2 A senh ⁡ t + B cosh ⁡ t ' + e - c t 2 ' A cosh ⁡ t + B senh ⁡ t + e - c t 2 A cosh ⁡ t + B senh ⁡ t '

a = c 2 4 e - c t 2 A senh ⁡ t + B cosh ⁡ t - c 2 e - c t 2 A cosh ⁡ t + B senh ⁡ t - c 2 e - c t 2 A cosh ⁡ t + B senh ⁡ t + e - c t 2 A senh ⁡ t + B cosh ⁡ t

Juntando o que da para juntar:

a = c 2 4 e - c t 2 A senh ⁡ t + B cosh ⁡ t - c e - c t 2 A cosh ⁡ t + B senh ⁡ t + e - c t 2 A senh ⁡ t + B cosh ⁡ t

Passo 3

Vamos mostrar agora o que ele pediu. Que a é a soma de dois números um proporcional a s outro a v .

a = c 2 4 e - c t 2 A senh ⁡ t + B cosh ⁡ t - c e - c t 2 A cosh ⁡ t + B senh ⁡ t + e - c t 2 A senh ⁡ t + B cosh ⁡ t

Vamos olhar as duas expressões, de s e v :

s = e - c t 2 A senh ⁡ t + B cosh ⁡ t

v = - c 2 e - c t 2 A senh ⁡ t + B cosh ⁡ t + e - c t 2 A cosh ⁡ t + B senh ⁡ t

Tudo se resume a escrever

e - c t 2 A senh ⁡ t + B cosh ⁡ t

E

e - c t 2 A cosh ⁡ t + B senh ⁡ t

Em função de v e s .

Já temos de forma direta que:

s = e - c t 2 A senh ⁡ t + B cosh ⁡ t

Então, substituindo isso na expressão de v

v = - c 2 s + e - c t 2 A cosh ⁡ t + B senh ⁡ t

Então vamos ter:

e - c t 2 A cosh ⁡ t + B senh ⁡ t = v + c s 2

Passo 4

Agora, vamos substituir as duas expressões pelas equivalentes em v e s na equação da aceleração:

a = c 2 4 e - c t 2 A senh ⁡ t + B cosh ⁡ t - c e - c t 2 A cosh ⁡ t + B senh ⁡ t + e - c t 2 A senh ⁡ t + B cosh ⁡ t

a = c 2 4 e - c t 2 A senh ⁡ t + B cosh ⁡ t ⏟ s - c e - c t 2 A cosh ⁡ t + B senh ⁡ t ⏟ v + c s 2 + e - c t 2 A senh ⁡ t + B cosh ⁡ t ⏟ s

Então, vamos ter

a = c 2 4 s - c v + c s 2 + s

a = c 2 4 s - c v - c 2 s + s

a = s 1 - 3 4 c 2 + v - c

Resposta

v = - c 2 e - c t 2 A senh ⁡ t + B cosh ⁡ t + e - c t 2 A cosh ⁡ t + B senh ⁡ t

a = c 2 4 e - c t 2 A senh ⁡ t + B cosh ⁡ t - c e - c t 2 A cosh ⁡ t + B senh ⁡ t + e - c t 2 A senh ⁡ t + B cosh ⁡ t

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