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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 48

Uma partícula move-se ao longo de uma reta, onde s cm é a distância orientada da partícula à origem, v cm/s é a velocidade da partícula e a cm/s² é a sua aceleração em t s.

Se a = e t + e - t e v = 1 e s = 2 quando t = 0 , ache v e s em termos de t .

Passo 1

O nosso exercício nos pede duas coisas, a v e o s , ele nos da os valores de um instante:

t = 0   s

v = 1   c m / s

s = 2   c m

Vamos começar pela velocidade, devemos lembrar que a velocidade é encontrada integrando a função aceleração, como foi pedida em termos de t vamos calcular a integral indefinida:

a = d v d t ∴   d v d t = e t - e - t

∫ d v = ∫ e t + e - t d t

v = e t - e - t + C

Passo 2

Agora podemos descobrir o valor da constante C , como o exercício nos diz que v = 1 cm/s no instante t = 0 s, basta substituir na expressão da velocidade:

v = e t - e - t + C

1 = e 0 - e - 0 + C ∴   C = 1

E nossa expressão da velocidade fica:

v = e t - e - t + 1

Passo 3

Agora só falta encontrar s , para isso devemos resolver a integral da função velocidade:

v = d s d t ∴ d s d t = e t - e - t + 1

∫ d s = ∫ ( e t - e - t + 1 ) d t

s = e t + e - t + t + C

Passo 4

Para finalizar nossa expressão basta encontrar C substituindo os valores de s e t fornecidos:

2 = e 0 + e - 0 + 0 + C ∴ C = 0

E nossa expressão do deslocamento fica:

s = e t + e - t + t

Resposta

v = e t - e - t + 1

s = e t + e - t + t

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