Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.3 - Ex. 34
Uma pedra é atirada para cima, partindo do solo, com uma velocidade inicial de . (a) Quanto tempo irá decorrer até que ela retorne ao solo? (b) Qual a velocidade escalar quando ela atinge o solo?
Passo 1
Se um objeto se move livremente numa reta vertical e está sendo puxado em direção à terra pela força da gravidade, a aceleração devido à gravidade, denotada por g m/s², varia com a distância do objeto ao centro da Terra. Entretanto, para pequenas variações de distância, a aceleração, devido à gravidade, é quase constante e um valor aproximado de g, se o objeto estiver próximo ao nível do mar, será . Para esse tipo de exercício, continuam valendo as derivadas vistas para o movimento retilíneo, ou seja, .
Vamos analisar nosso exercício. Uma pedra foi lançada do solo para o alto e caiu novamente. Sabemos a velocidade com que ela sai do solo (nossa velocidade inicial no instante ). A figura a seguir ilustra a trajetória da pedra.
Seja t o tempo que passou desde o lançamento da pedra, s a distância percorrida pela pedra em t segundos, v a velocidade da pedra e |v| a velocidade escalar da pedra. Quando a pedra atinge o chão, . Sejam os valores do tempo e da velocidade quando a pedra atinge o chão novamente. A única aceleração presente durante todo o movimento é a da gravidade, que é vertical e aponta para baixo. A tabela a seguir apresenta as condições iniciais que temos.
A aceleração tem um valor constante que tomaremos como . Sabendo que , temos:
Passo 2
Aplicando as condições iniciais que temos:
Portanto,
Passo 3
Sabemos que . Assim:
Passo 4
Aplicando as condições iniciais para a distância temos:
Portanto,
Passo 5
Respondendo as alternativas agora:
- Quando a pedra retorna ao solo, . Substituindo na equação final da distância temos:
- A velocidade escalar que a pedra atinge o solo pode ser calculada utilizando os dados do tempo que ela atinge o solo. Quando a velocidade da pedra será:
Como corresponde ao momento inicial do movimento, essa resposta não pode ser considerada. Logo, a pedra leva para retornar ao solo.
Resposta
- O tempo de retorno ao solo é ;
- A velocidade escalar com qual a pedra atinge o solo é ;