Calcule a integral indefinida

int (sen x d x)/(sqrt(2 - cos^2 x))

Passo 1

int (sen x d x)/(sqrt(2 - cos^2 x))

Aquele cos x e sen x está pentelhando a vida, vamos usar substituição simples para resolver:

a = cos x -> d a = - sen x d x -> sen x d x = - d a

Vamos ter:

int (sen x d x)/(sqrt(2 - cos^2 x)) = int (- d a)/(sqrt(2 - a^2)) = - int (d a)/(sqrt(2 - a^2))

Passo 2

- int (d a)/(sqrt(2 - a^2))

Quando temos uma raiz quadrada no denominador, precisamos dar uma manipulada para que apareça algo dessas formas:

sqrt(x^2 - 1)

sqrt(1 - x^2)

Para que possamos usar as derivadas das funções trigonométricas inversas

Vamos pegar o 2 - a^2 e tentar arrumá-lo:

2 - a^2

Primeiro, colocamos o 2 em evidência

2 - a^2 = 2 (1 - (a^2)/(2))

Temos algo parecido, o que vamos precisar fazer é a sugstituição

(a^2)/(2) = b^2

Que é o mesmo que

(a)/(sqrt(2)) = b -> a = sqrt(2) b

Assim:

d a = sqrt(2) d b

Substituindo na integral:

- int (sqrt(2) d b)/(sqrt(2 (1 - b^2))) = - int (sqrt(2) d b)/(sqrt(2) sqrt(1 - b^2)) = - int (d b)/(sqrt(1 - b^2))

Passo 3

Vamos para a integral em b

- int (d b)/(sqrt(1 - b^2))

Ela vai ser exatamente a integral da sen^(- 1)

- int (d b)/(sqrt(1 - b^2)) = - sen^(- 1) b + C

Voltando para a :

- sen^(- 1) b + C = - sen^(- 1) (a)/(sqrt(2)) + C

Voltando para x

- sen^(- 1) (a)/(sqrt(2)) + C = - sen^(- 1) (cos x)/(sqrt(2)) + C

Resposta

- sen^(- 1) (cos x)/(sqrt(2)) + C

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