Enunciado

27. Considere o problema de valor inicial

y ' = t y 4   –   y 3

y 0 = y 0

(a) Determine o comportamento da solução em função do valor inicial y0 quando t aumenta.(b) Suponha que y0 = 0,5. Encontre o instante T no qual a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,98.

Passo 1

Descobrimos na letra a) que

y =   - 4 1 - e - 4 t 2 6 + 1 4 l n   y 0 y 0 - 4  

Agora queremos descobrir o valor t para o qual

y t = 3,98

Passo 2

Vamos plotar o valor de y e descobrir o valor de t, podemos usar uma equação mais clara que achamos em a)

1 4 l n   y y - 4   = t 2 6 + 1 4 l n   y 0 y 0 - 4  

Plotando o valor y temos

1 4 l n   3,98 3,98 - 4   = t 2 6 + 1 4 l n   0,5 0,5 - 4  

t 2 = 6 1 4 l n   3,98 3,98 - 4 - 1 4 l n   0,5 0,5 - 4

Vamos precisar ajeitar essa equação, afinal do jeito que estamos (log com argumento negativo) é algo impossível de calcular.

t 2 = 6 1 4 l n   - 4 - 0,02 0,02 - 1 4 l n   - 0,5 3,5

t 2 = 6 1 4 l n   - 4 - 0,02 0,02   ⋅ - 3,5 0,5  

t 2 = 6 1 4 l n   - 400 - 2 2   ⋅ - 7  

t 2 = 6 1 4 l n   - 199   ⋅ - 7  

t 2 = 6 1 4 l n   199   ⋅ 7   → t ≈ 3,3

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

b   )   t ≈ 3,3

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