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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 23

23. Resolva o problema de valor inicial y ' =   2 y 2   +   x y 2 ,

  y ( 0 )   =   1

e determine onde a solução atinge seu valor mínimo.

Passo 1

Temos aqui o iniciozinho de equações diferenciais, e para resolver essa equação vamos precisar usar um método poderoso de resolução de equações. O método de Separação de Variáveis. O próprio nome já dá spoiler de como funciona. Vamos separar as variáveis, tudo que for x fica de um lado, tudo que for y fica do outro.

Passo 2

No caso de

y ' =   2 y 2   +   x y 2

Podemos fazer o seguinte

y ' = y 2 2 + x

d y d x =   y 2 2 + x  

1 y 2 d y = 2 + x d x

- 1 y = 2 x + x 2 2 + C

Não se esqueça da constante arbitrária ( C ), ela é muito importante !!!

Passo 3

Vamos resolver o problema de valor inicial

y 0 =   1

Dessa forma, temos

- 1 y = 2 x + x 2 2 + C

- 1 1 = C

C =   - 1

Ajeitando essa equação temos

y =   - 2 4 x + x 2 - 2

Passo 4

O enunciado pergunta se essa equação possui um mínimo. Bem primeiro vamos ter que olhar para o gráfico dela

Temos um problema com o domínio em dois pontos, e a equação diverge para ±   ∞ nesse ponto, logo não teremos nem um máximo nem um mínimo global. Teremos apenas um mínimo local, ali no ponto x =   - 2   como podemos ver pelo gráfico. Podemos provar isso algebricamente. Os pontos críticos são onde a derivada da nossa função é nula, assim

y ' = 0

y 2 2 + x =   0

Logo teremos

y = 0   ou x = - 2

Podemos descartar y = 0 porque está fora do nosso domínio, afinal se y = 0

y =   - 2 4 x + x 2 - 2

4 x + x 2 - 2 =   ∞ → x = ∞

Portanto nossa resposta é

x = - 2

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

y =   - 2 4 x + x 2 - 2

Mínimo Local em

x =   - 2

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