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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 30-e

30. Considere a equação

d y d x = y - 4 x x - y

  1. Mostre que a Eq. (i) pode ser colocada na forma

d y d x = y x - 4 1 - y x

logo, a Eq. (i) é homogênea.

(b) Introduza uma nova variável dependente υ de modo que υ = y/x, ou y = xυ(x). Expresse dy/dx em função de x, υ e dυ/dx.(c) Substitua y e dy/dx na Eq. (ii) pelas expressões no item (b) envolvendo υ e dυ/dx. Mostre que a equação diferencial resultante é

v + x d v d x = v - 4 1 - v  

Ou

x d v d x = v ² - 4 1 - v  

Note que a Eq. (iii) é separável.(d) Resolva a Eq. (iii) obtendo υ implicitamente em função de x.(e) Encontre a solução da Eq. (i) substituindo υ por y/x na solução encontrada no item (d).(f) Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais para a Eq. (i). Lembre-se de quea expressão à direita do sinal de igualdade na Eq. (i) depende, de fato, apenas da razão y/x.Isso significa que as curvas integrais têm a mesma inclinação em todos os pontos pertencentes auma mesma reta contendo a origem, embora essa inclinação varie de uma reta para outra.Portanto, o campo de direções e as curvas integrais são simétricos em relação à origem. Essapropriedade de simetria é evidente em seus gráficos?

Passo 1

e )   Agora que já temos a expressão solução podemos apenas trocar v → y x

1 + v 1 - v v 2 - 4   = x 2

1 + y x 1 - y x y x 2 - 4   = x 2

Vamos manipular um pouquinho para ficar mais bonito essa expressão

x + y x x - y x y 2 - 4 x 2 x 2   = x 2

x 3 x + y x x - y y 2 - 4 x 2   = x 2

x + y x - y y 2 - 4 x 2 = 1  

x + y = x - y y 2 - 4 x 2

x + y = x y 2 - 4 x 3 - y 3 + 4 x 2 y

y   1 - 4 x 2 + y 3 - y 2 x =   - 4 x 3 - x  

O máximo que podemos manipular é ter esse polinômio como solução.

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

y   1 - 4 x 2 + y 3 - y 2 x =   - 4 x 3 - x  

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