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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.2 - Ex. 42

Percorrendo em sentido inverso as etapas na obtenção da equação 8 a partir da equação 1 , prove que se P x ,   y for qualquer ponto cujas coordenadas satisfazem 8 ,

F P - + F ' P - = 2 a

onde F e F ' são os focos da elipse na figura 3. (Sugestão: Para mostrar a desigualdade 9 , use o fato de que a > c > 0 e que para todo ponto x ,   y satisfazendo 8 , - a ≤ x ≤ a . Para mostrar a desigualdade 10 , mostre primeiro que x + c 2 + y 2 = a + c a x substituindo y 2 por b 2 1 - x 2 a 2 e usando 7 .

Passo 1

Para provar vamos partir da expressão 8 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 . Primeiro vamos usar a relação b 2 = a 2 - c 2 .

x 2 a 2 + y 2 a 2 - c 2 = 1

Agora vamos fazer o M.M.C. desta equação

  a 2 - c 2 x 2 + a 2 y 2 a 2 a 2 - c 2 = 1

  a 2 - c 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 a 2 - c 2

Vamos por a 2 em evidencia

a 2   1 - c 2 a 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 a 2 - c 2

  1 - c 2 a 2 x 2 + y 2 = a 2 - c 2

  x 2 + c 2 + y 2 = a 2 + c 2 a 2 x 2

Passo 2

Agora vamos acrescentar 2 c x em ambos os lados

  x 2 + 2 c x + c 2 + y 2 = a 2 +   2 c x + c 2 a 2 x 2

x + c 2 + y 2 = a + c a x 2

Passo 3

Usando a sugestão a > c > 0 para verificar a desigualdade 9 a + c a x ≥ 0

a ≥ x ≥ - a

a ≥ x

a > 0  e   c > 0  

a > 0  e   c x ≥ 0

a > 0  e   c a x ≥ 0

a + c a x ≥ 0

Desta forma temos

x + c 2 + y 2 = a + c a x

Passo 4

Agora vamos usar dos dados da sugestão para mostrar que x + c 2 + y 2 = a + c a x , substituindo y 2 por b 2 1 - x 2 a 2 e usando 7 .

x + c 2 + b 2 1 - x 2 a 2   = a + c a x

Aplicando 7 , b 2 = a 2 - c 2 .

x + c 2 + a 2 - c 2 - a 2 - c 2 x 2 a 2   = a + c a x

x 2 + 2 x c + c 2 + a 2 - c 2 - a 2 - c 2 x 2 a 2   = a + c a x

x 2 + 2 x c + a 2 - a 2 - c 2 x 2 a 2   = a + c a x

Encontrando M.M.C das expressões na raiz quadrada

a 2 x 2 + 2 x a 2 c + a 2 a 2 - a 2 - c 2 x 2 a 2   = a + c a x

a 2 x 2 + 2 x a 2 c + a 2 a 2 - a 2 x 2 + c 2 x 2 a 2   = a + c a x

Agora realizando a divisão por a 2 .

2 x a 2 c + a 2 a 2 + c 2 x 2 a 2   = a + c a x

a 2 + 2 x c + c 2 x 2 a 2   = a + c a x

a + c a x 2   = a + c a x

a + c a x = a + c a x

Passo 5

Após esta demonstração vamos continuar o processo de provar essa equação de forma inversa

x + c 2 + y 2 = a + c a x

a x + c 2 + y 2 = a 2 + c x

4 a x + c 2 + y 2 = 4 a 2 + 4 c x

- 2 c x = 4 a 2 + 2 c x - 4 a x + c 2 + y 2

Somando x 2 + c 2 + y 2 dos dois lados da igualdade temos

x 2 - 2 c x + c 2 + y 2 = 4 a 2 - 4 a x + c 2 + y 2 + x 2 + 2 c x + c 2 + y 2

x - c 2 + y 2 = 4 a 2 - 4 a x + c 2 + y 2 + x + c 2 + y 2

x - c 2 + y 2 = 2 a - x + c 2 + y 2

Tendo mostrado que x + c 2 + y 2 = a + c a x vamos mostrar a desigualdade 10 ,

2 a - x + c 2 + y 2 ≥ 0

a > c > 0

a ≥ x ≥ - a

a ≥ x

a > c a x

a - c a x ≥ 0

a + a - a - c a x ≥ 0

2 a - a + c a x ≥ 0

2 a - x + c 2 + y 2 ≥ 0

Tendo provado 2 a - x + c 2 + y 2 ≥ 0 agora vamos dar prosseguimento

x - c 2 + y 2 + x + c 2 + y 2 = 2 a

F P - = x - c 2 + y 2  e  F ' P - = x + c 2 + y 2

F P - + F ' P - = 2 a

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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