34) Prove que não existe reta tangente à hipérbole x² - y² = 1 que passe pela origem.

Passo 1

Sabendo que a equação da hipérbole é x ² - y 2 = 1 , nós concluímos que o centro da hipérbole se encontra na origem (0,0).

Se fizermos y = 0 :

x 2 - 0 = 1

x = ± 1

Desenhando:

Para que uma reta cruze a origem sua equação deve ser do tipo

y = m x

Substituindo na equação da hipérbole:

x ² - ( m x ) 2 = 1

x 2 1 - m 2 - 1 = 0

Para que haja uma reta tangente o discriminante dessa equação quadrática deve ser igual a 0, indicando que há pelo menos um ponto onde a reta toca a hipérbole:

∆ = b 2 - 4 a c

∆ = 0 2 - 4 1 - m 2 - 1 = 4 - m ²

4 - m 2 = 0  

m = ± 2

Para estes valores de m podemos avaliar x:

m = ± 2 → x = 1 1 - m 2 = 1 1 - 4 = - 1 3

Ou seja, não há valor real para x. Isso indica que a reta que passa pela origem não toca a hipérbole em nenhum valor real.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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