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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.4 - Ex. 32

Prove:

int s e c h u . d u = 2 . t g^(- 1) e^u + c

Passo 1

Para provar a igualdade precisamos lembrar que:

s e c h u = (2)/(e^x + e^(- x))

int (d u)/(1 + u ²) = t g^(- 1) u + C

Então:

int s e c h u . d u = int (2)/(e^u + e^(- u)) . d u

Manipulando a integral:

int s e c h u . d u = 2 int (1)/(e^(- u) ((e^u)/(e^(- u)) + 1)) . d u = 2 int (e^u)/((e^(2 u) + 1)) . d u

int s e c h u . d u = 2 int (1)/(e^(- u) ((e^u)/(e^(- u)) + 1)) . d u = 2 int (e^u)/(( e^u ) ² + 1) . d u

Fazendo

x = e^u

d x = e^u . d u

int s e c h u . d u = 2 int (d x)/(x ² + 1)

int s e c h u . d u = 2 . t g^(- 1) x + C

Substituindo novamente:

int s e c h u . d u = 2 . t g^(- 1) e^u + C

Lembrando que a derivada da constante é 0:

D_x (ln |senh u| + c) = D_x (ln |senh u|)

D_x (ln |senh u| + c) = (1)/(senh u) . D_x (senh u)

Lembrando do Teorema 8.4.3:

D_x (senh u) = c o s h u . D_x u

Então:

D_x (ln |senh u| + c) = (1)/(senh u) . c o s h u

D_x (ln |senh u| + c) = c o t g h u

Concluindo:

int c o t g h u . d u = ln | senh u | + c

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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