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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 236

Qual é o período da função f (x) = (1 + t g x)/(1 - t g x) ?

Passo 1

Bem, galera, o primeiro passo aqui vai ser substituir aquele 1 da função por t g (pi)/(4) afim de gerar uma soma de tangentes em cima e uma diferença embaixo para que possamos usar fórmulas conhecidas para simplificar a expressão. f (x) = (1 + t g x)/(1 - t g x) = (t g (pi)/(4) + t g x)/(t g (pi)/(4) - t g x)

Passo 2

A partir daqui, vamos utilizar a fórmula: t g p + t g q = (s e n (p + q))/(cos p * cos q)

Onde p = (pi)/(4) e q = x . Substituindo ficaremos com:

t g (pi)/(4) + t g x = (s e n ( (pi)/(4) + x ))/(cos (pi)/(4) * cos x)

Passo 3

No denominador, podemos usar a fórmula:

t g p - t g q = (s e n (p - q))/(cos p * cos q)

Para reescrevê-lo. Aqui vamos usar p = (pi)/(4) e q = x t g (pi)/(4) - t g x = (s e n ((pi)/(4) - x))/(cos (pi)/(4) * cos x)

Passo 4

Juntando o numerador e o denominador obtidos nos passos anteriores, podemos reescrever a expressão como:

f (x) = ((s e n ((pi)/(4) + x))/(cos (pi)/(4) * cos x))/((s e n ((pi)/(4) - x))/(cos (pi)/(4) * cos x)) = (s e n ((pi)/(4) + x))/(s e n ((pi)/(4) - x)) = t g ((pi)/(4) + x)

Resposta

Logo, f (x) = t g ((pi)/(4) + x) cujo período é pi

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