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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 11.Exercícios - Ex. 304

Resolva a equação sen^2 x + sen^4 x + sen^6 x = 3

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo joia?

Para resolver esse sistema vamos identificar qual o menor termo que essa equação pode ser reescrita. Usando esse termo iremos substitui-lo por uma variável qualquer e realizar as contas a partir dela. A solução encontrada será e relação a nossa nova equação, por isso precisamos voltar com a substituição feita inicialmente para obter a solução final da questão.

Vamos lá!

Passo 2

Reescrevendo a equação em termos de seno ao quadrado.

sen^2 x + (sen^2 x)^2 + (sen^2 x)^3 = 3

Agora, vamos substituir esse fator por y . Assim:

y = sen^2 x

y + y^2 + y^3 = 3

Fatorando a equação obtemos:

(y + 1) (y^2 + 2 y + 3) = 3

y = 1

Precisamos voltar para as variáveis iniciais do problema. Lembrando que y = sen^2 x . Então:

y = 1 = sen^2 x

sen^2 x = 1

sen x = sqrt(1)

sen x = +- 1

Aplicando a função inversa, arco seno, temos:

x = arcsen +- 1

Queremos saber: qual o arco (ângulo) cujo seno é +- 1 ?

Esse valor de seno é atingido pelos ângulos (pi)/(2) , (3 pi)/(2) e seus múltiplos. Assim, podemos representar o x por:

x = (pi)/(2) + k pi -> x = pi ((1)/(2) + k)

Encontramos a solução!

Resposta

x = pi ((1)/(2) + k)

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