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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 237

Sendo s e n   x - s e n   y = 2 ⋅   s e n x - y 2 ⋅ c o s x +   y 2 e lembrando que   s e n   z ≤ z ,   c o s   t ≤ 1   e   a ⋅ b = a ⋅ | b | , compare | s e n   x - s e n   y | e | x - y | , com x e y números reais quaisquer.

Passo 1

Bem, galera, o que queremos buscar nessa questão é descobrir se | s e n   x - s e n   y | é menor, maior ou igual à | x - y | . Como primeiro passo, podemos substituir a identidade que ele nos deu, então:

s e n   x - s e n   y = 2 ⋅   s e n x - y 2 ⋅ c o s x +   y 2

Passo 2

A partir daí, vamos usar a outra informação dada no enunciado:

a ⋅ b = a ⋅ | b | Logo, 2 ⋅   s e n x - y 2 ⋅ c o s x +   y 2 = 2 ⋅ s e n x - y 2 ⋅ c o s x +   y 2

Passo 3

Agora vamos usar duas informações de uma só vez:

s e n   z ≤ z   e   c o s   t ≤ 1    

Ou seja, 2 ⋅ s e n x - y 2 ⋅ c o s x +   y 2 ≤ 2 ⋅ x - y 2 ⋅ 1 = x - y

Resposta

No final das contas o que descobrimos? Que:

s e n   x - s e n   y ≤ x - y

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