Sendo sen(x) - sen(y) = 2 * sen((x - y) / 2) * cos((x + y) / 2) e lembrando que |sen(z)| ≤ |z|, |cos(t)| ≤ 1 e |a · b| = |a| · |b| , compare | sen x - sen y | e |x - y|, com x e y números reais quaisquer.

Passo 1

Bem, galera, o que queremos buscar nessa questão é descobrir se | s e n   x - s e n   y | é menor, maior ou igual à | x - y | . Como primeiro passo, podemos substituir a identidade que ele nos deu, então:

s e n   x - s e n   y = 2 ⋅   s e n x - y 2 ⋅ c o s x +   y 2

Passo 2

A partir daí, vamos usar a outra informação dada no enunciado:

a ⋅ b = a ⋅ | b | Logo, 2 ⋅   s e n x - y 2 ⋅ c o s x +   y 2 = 2 ⋅ s e n x - y 2 ⋅ c o s x +   y 2

Passo 3

Agora vamos usar duas informações de uma só vez:

s e n   z ≤ z   e   c o s   t ≤ 1    

Ou seja, 2 ⋅ s e n x - y 2 ⋅ c o s x +   y 2 ≤ 2 ⋅ x - y 2 ⋅ 1 = x - y

Resposta

No final das contas o que descobrimos? Que:

s e n   x - s e n   y ≤ x - y

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