Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 52

Um peso de 4   k g distende uma mola em 2   c m . O peso é solto na posição de equilíbrio a partir do repouso. Determine a equação de movimento se uma força externa f t = s e n ( t ) age sobre o sistema durante 0 ≤ t < 2 π e então é removida. Ignore qualquer amortecimento. [Sugestão: Escreva a força externa impressa em termos de função degrau unitário.]

Passo 1

E aííí parsa!!

Bora lá, temos que resolver essa equação:

m x ' ' = - k x + f ( t )

Para f t = s e n t - s e n t - 2 π u t - 2 π ,   m = 1 e k = 16

Para isso, vamos usar a transformada de Laplace, beleza?

Antes vamos lembrar algumas transformadas que podem ser úteis:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Agora sim, bora lá

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

x ' ' + 16 x = s e n t - s e n t - 2 π u t - 2 π

s 2 . X s + 16 X s = 1 s 2 + 1 - 1 s 2 + 1 e - 2 π s

X s . s 2 + 16 = 1 s 2 + 1 - 1 s 2 + 1 e - 2 π s

X s = 1 ( s 2 + 1 ) s 2 + 16 - 1 ( s 2 + 1 ) s 2 + 16 e - 2 π s

Agora precisamos achar a transformada inversa disso, belezinha?

Passo 3

Temos

X s = 1 ( s 2 + 1 ) s 2 + 16 - 1 ( s 2 + 1 ) s 2 + 16 e - 2 π s

Expandindo em frações parciais, isso vai ficar

X s = - 1 / 15 s 2 + 16 + 1 / 15 s 2 + 1 - - 1 15 s 2 + 16 + 1 15 s 2 + 1 e - 2 π s

X s = - 1 60 4 s 2 + 16 + 1 / 15 s 2 + 1 - - 1 15 s 2 + 16 + 1 15 s 2 + 1 e - 2 π s

Então, fazendo a transformada inversa, temos

x t = - 1 60 s e n 4 t + 1 15 s e n t + 1 60 s e n 4 t - 2 π u t - 2 π - 1 15 s e n t - 2 π u ( t - 2 π )

E acabaamoooooos

Resposta

x t = - 1 60 s e n 4 t + 1 15 s e n t + 1 60 s e n 4 t - 2 π u t - 2 π - 1 15 s e n t - 2 π u ( t - 2 π )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial. f t + ∫ 0 t f ( τ )d τ = 1
Nos problemas 27 e 28, use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições de contorno indicadas. y ' ' - 9 y ' + 20 y = 1 ,y 0 = 0 , y ' 1 = 0
Nos problemas 27 e 28, use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições de contorno indicadas. y ' ' + 2 y ' + y = 0 ,y ' 0 = 2 ,y 1 = 2
Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial. f t + 2 ∫ 0 t f ( τ )c o s t - τ d τ = 4 e - t + s e n ( t )
Use o procedimento exposto no problema 61 para encontrar uma solução para o problema de valor inicial y ' ' + y = sec ⁡ t ,y 0 = 0 ,y ' 0 = 0