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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 27

Nos problemas 27 e 28, use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições de contorno indicadas.

y ' ' + 2 y ' + y = 0 ,       y ' 0 = 2 ,       y 1 = 2

Passo 1

Bora lá?

Temos a equação diferencial:

y ' ' + 2 y ' + y = 0 ,       y ' 0 = 2 ,       y 1 = 2

Mas não vamos usar aqueles conceitos antigos para resolver essas equações ok? Vamos utilizar a Transformada de Laplace

Então, vamos fazer a transformada de Laplace da nossa equação, isolar o Y ( s ) e aí depois encontramos a transformada inversa, para termos y ( t )

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

y ' ' + 2 y ' + y = 0

s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 ) + 2 s . Y s - y 0 + Y s = 0

Sabemos do enunciado que y ' 0 = 2 . Vamos também chamar y 0 = c

s 2 . Y s - s . c - 2 + 2 s . Y s - c + Y s = 0

Y s . s 2 + 2 s + 1 - c s - 2 - 2 c = 0

Y s . s 2 + 2 s + 1 = c s + 2 + 2 c

Y s = c s + 2 + 2 c s 2 + 2 s + 1

Y s = c s + 2 + 2 c ( s + 1 ) ²

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

Y s = c s + 2 + 2 c ( s + 1 ) ²

Y s = c s + 2 + 2 c ( s + 1 ) ²

Y s = c s ( s + 1 ) ² + 2 c + 2 ( s + 1 ) ²

Podemos escrever isso assim olha:

Y s = c . s + 1 - 1 ( s + 1 ) ² + 2 c + 2 ( s + 1 ) ²

Y s = c . s + 1 s + 1 2 + - 1 s + 1 2 + 2 c + 2 ( s + 1 ) ²

Y s = c . 1 s + 1 + - 1 s + 1 2 + 2 c + 2 ( s + 1 ) ²

Y s = c s + 1 + - c s + 1 2 + 2 c + 2 ( s + 1 ) ²

Y s = c s + 1 + c + 2 ( s + 1 ) ²

Fazendo a transformada inversa, de acordo com as informações do passo 1, temos:

y t = c . e - t + c + 2 . t . e - t

Agora precisamos aplicar a condição de que y 1 = 2 , vamos lá?

Passo 4

Temos

y t = c . e - t + c + 2 . t . e - t

Com a condição y 1 = 2 , então:

y 1 = c . e - 1 + c + 2 . 1 . e - 1 = 2

y 1 = c e + c e + 2 e = 2

y 1 = 2 c e + 2 e = 2

2 c + 2 = 2 e

c + 1 = e

c = e - 1

Então, nossa solução é

y t = ( e - 1 ) . e - t + e - 1 + 2 . t . e - t

y t = ( e - 1 ) . e - t + e + 1 . t . e - t

Resposta

y t = ( e - 1 ) . e - t + e + 1 . t . e - t

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