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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 32

Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial.

f t + 2 ∫ 0 t f ( τ )   c o s t - τ d τ = 4 e - t + s e n ( t )

Passo 1

Bora lá?

Temos a equação:

f t + 2 ∫ 0 t f ( τ )   c o s t - τ d τ = 4 e - t + s e n ( t )

E vamos usar a Transformada de Laplace para encontrarmos f ( t ) , beleza?

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

E vamos lembrar também que a convolução ∫ 0 t f t - τ g t d τ no domínio do tempo é a multiplicação no domínio s , certo?

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

f t + 2 ∫ 0 t f ( τ )   c o s t - τ d τ = 4 e - t + s e n ( t )

Em ∫ 0 t f ( τ )   c o s t - τ d τ temos a convolução de f ( t ) com c o s ⁡ ( t ) então podemos escrever como a multiplicação das suas transformadas

F s + 2 . F s . s s 2 + 1 = 4 s + 1 + 1 s 2 + 1

F s . 1 + 2 s s 2 + 1 = 4 s + 1 + 1 s 2 + 1

F s . 2 s + s 2 + 1 s 2 + 1 = 4 s 2 + 1 + 1 . ( s + 1 ) ( s + 1 ) ( s 2 + 1 )

F s . 2 s + s 2 + 1 s 2 + 1 = 4 s 2 + s + 5 ( s + 1 ) ( s 2 + 1 )

F s = 4 s 2 + s + 5 ( s + 1 ) ( s 2 + 1 ) . 2 s + s 2 + 1 s 2 + 1

F s = 4 s 2 + s + 5 ( s + 1 ) 2 s + s 2 + 1

Sabendo que 2 s + s 2 + 1 = ( s + 1 ) ² , já que ele tem duas raízes em s = - 1 :

F s = 4 s 2 + s + 5 ( s + 1 ) ( s + 1 ) ²

F s = 4 s 2 + s + 5 ( s + 1 ) ³

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

F s = 4 s 2 + s + 5 ( s + 1 ) ³

Expandindo em frações parciais, temos:

F s = 4 s + 1 - 7 s + 1 2 + 4 . 2 ( s + 1 ) ³

Fazendo a transformada inversa, de acordo com as informações do passo 1, temos:

f t = 4 e - t - 7 t . e - t + 4 t 2 e - t

E fimmm

Resposta

f t = 4 e - t - 7 t . e - t + 4 t 2 e - t

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