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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.9 - Ex. 28

Uma piscina tem 5   m de largura por 10   m de comprimento, 1   m de profundidade na parte rasa e 3   m na parte mais funda. Sua secção transversal está mostrada na figura. Se a piscina for enchida a uma taxa de 0,1   m 3 / m i n , quão rápido estará subindo o nível da água no ponto mais profundo for de 1   m ?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o quão rápido estará subindo nível da água da piscina no ponto mais profundo de 1   m . Isso quer dizer que nós precisamos encontrar a taxa de variação da altura da água dessa piscina h ' ( t ) .

Só que para encontrar essa altura, precisamos antes determinar a taxa de variação do volume de água da piscina. Dessa forma, vamos aproximar o formato da piscina por um trapézio, de forma que a gente consiga encontrar a relação entre o volume V e a altura h da água.

Em seguida, vamos derivar essas relações e substituir o ponto que o enunciado nos deu para encontramos nossa resposta.

Vamos lá!

Passo 2

Se esboçamos o trapézio da secção transversal da piscina como:

Então, até que a altura h seja 2 metros, o volume da água é dado por:

V = 5 ∙ a h 2 + 3 h + b h 2

Para achar a relação entre a altura e os valore de a e b pode ser obtida por semelhança de triângulos:

a 1,5 = h 2 ⇒ a = 1,5 h 2

b 4 = h 2   ⇒ b = 2 h

Logo, o volume é dado por:

V = 5 ∙ 1,5 h 2 h 2 + 3 h + ( 2 h ) h 2

V = 5 ∙ 1,5 h 2 4 + 3 h + h 2

V = 5 ∙ 3 h + 11 8 h 2

Passo 3

Então, derivando V em função do tempo t implicitamente, temos:

V ' t = 5 ∙ 3 h ' t + 11 4 h ∙ h ' t

V ' t = 5 h ' t ∙ 3 + 11 4 h

E isolando h ' ( t ) , obtemos:

h ' t = V ' t 5 3 + 11 4 h

Passo 4

Então, quando o ponto mais profundo for h = 1   m e V ' t = 0,1   m 3 / m i n , teremos:

h ' t = 0,1 5 3 + 11 4 1

h ' t = 2 575

Logo, o nível da água estará subindo a uma taxa de 2 575 m/min.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2 575   m / m i n

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