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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 42

Um quadro com 150 cm é colocado numa parede com sua base a 210 cm do nível dos olhos de um observador. Se o observador está se aproximando da parede com uma velocidade de 90 cm/s, com que velocidade a medida do ângulo segundo o qual o observador vê o quadro estará variando quando o observador estiver a 3 m da parede?

Passo 1

Esse vai ser um problema de taxas relacionadas, a primeira coisa a tentar se fazer neste tipo de questão é um esboço do que está acontecendo, olhem na imagem abaixo como facilita o entendimento.

Temos o quadro em verde, com a base a 210 cm do nível dos olhos de um observador e também marquei a distância do observador a parede. O problema quer a taxa de variação do ângulo θ segundo o qual o observador enxerga o quadro (em verde) quando o observador estiver a 3 m = 300 cm da parede.

Precisamos descobrir d θ d t e temos a velocidade do observador, que é a taxa de variação do nosso x em relação ao tempo, ou seja d x d t = - 90 . Por que ficou negativo? Porque a medida que o observador se aproxima da parede, a distância x diminui a uma taxa de 90 cm/s, ok?

Passo 2

Precisamos descobrir uma expressão para θ . Primeiro de tudo perceba que aplicando cot ⁡ ( θ + α ) e cot ⁡ α , temos:

cot ⁡ ( θ + α ) = C a t e t o   A d j C a t e t o   O p o s t = x 150 + 210 = x 360

cot ⁡ ( α ) = x 210

Aplicando a inversa, temos que:

θ + α = cot - 1 ⁡ x 360

α = cot - 1 ⁡ x 210

Como eu quero θ , vou subtrair uma da outra e ficar com:

θ + α - α = cot - 1 ⁡ x 360 - cot - 1 ⁡ x 210

θ = cot - 1 ⁡ x 360 - cot - 1 ⁡ x 210

Pronto! Agora temos a expressão do nosso θ em função de x .

Passo 3

Para achar d θ d t precisamos derivar implicitamente a expressão de θ em relação ao tempo. Vamos então tomar a derivada de ambos os lados:

d θ d t = d d t cot - 1 ⁡ x 360 - cot - 1 ⁡ x 210 =   d d t cot - 1 ⁡ x 360 - d d t cot - 1 ⁡ x 210

Agora devemos lembrar que cot - 1 ⁡ u ' = - u ' 1 + u 2 em que u é uma função. Aplicando a fórmula, ficamos com:

d θ d t = - x 360 ' 1 + x 360 2   – - x 210 ' 1 + x 210 2

d θ d t = - 1 360 d x d t 1 + x 360 2 + 1 210 d x d t 1 + x 210 2

Lembre-se que derivamos acima implicitamente em relação a t .

Chegamos então em:

d θ d t = - 1 360 d x d t 1 + x 2 360 2 + 1 210 d x d t 1 + x 2 210 2

Passo 4

Agora vamos substituir d x d t = - 90 .

d θ d t = - 1 360 - 90 1 + x 2 360 2 + 1 210 - 90 1 + x 2 210 2 = 9 36 1 + x 2 360 2 - 9 21 1 + x 2 210 2

d θ d t = 1 4 1 + x 2 360 2 - 3 7 1 + x 2 210 2

Passo 5

Agora vamos substituir o x = 300 cm, que é quando o observador vai estar a 3 m da parede. Sendo assim, quando x = 300 :

d θ d t = 1 4 1 + ( 300 ) 2 360 2 - 3 7 1 + 300 2 210 2 = 1 4 1 + 300 ⋅ 300 360 ⋅ 360 - 3 7 1 + 300 ⋅ 300 210 ⋅ 210

1 4 1 + 300 ⋅ 300 360 ⋅ 360 - 3 7 1 + 300 ⋅ 300 210 ⋅ 210 = 1 4 1 + 300 ⋅ 3 36 ⋅ 36 - 3 7 1 + 300 ⋅ 3 21 ⋅ 21

1 4 1296 + 900 1296 - 3 7 441 + 900 441 = 1 4 2196 1296 - 3 7 1341 441 = 1296 4 ⋅ 2196 - 1323 7 ⋅ 1341

= 9 61 - 21 149 = 60 9089

d θ d t = 60 9089 ≈ 0.0066

Daí a velocidade pedida quando o observador estiver a 3 m da parede é aproximadamente 0.0066 rad/s.

Resposta

Velocidade de 0.0066 rad/s.

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