Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 12.5 - Ex. 37

O plano que passa pelo ponto e contém a reta intersecção dos planos e .

Passo 1

Olá, tudo bem? Bom, você já sabe que para determinar a equação de um plano são necessárias duas coisas:

Vetor normal ao plano;
Ponto pertencente ao plano.

Pois bem! Primeiro vamos determinar um vetor que seja paralelo à reta de interseção. E achamos esse vetor fazendo o produto vetorial entre os vetores diretores dos planos. Esse vetor vai pertencer ao plano que queremos e pertencer à reta.

Um segundo vetor poderia ser um vetor que ligasse essa reta ao ponto dado, assim o ponto estaria presente nesse plano. Assim teremos dois vetores que pertencem a esse plano. Mas para a equação do plano precisamos de um vetor NORMAL ao plano. Então o que fazer? Produto vetorial entre esses dois vetores! E acabou?

Não! Ainda precisamos do ponto. Ah, mas esse é tranquilo, o enunciado dá o ponto , então vamos usar ele e colocar na equação do plano!

Bom, agora que tracei a estratégia, vamos resolver?

Passo 2

Vou denominar os planos e seus respectivos vetores diretores:

, e seu vetor:

Agora vou determinar o vetor que seja ortogonal aos dois (e que vai pertencer ao plano que quero, pois ele é paralelo à reta de intersecção):

Agora vamos determinar o segundo vetor que vai pertencer ao plano?

Passo 3

Vou calcular um outro vetor a partir de um ponto dessa intersecção dos planos e o ponto . Primeiro vou achar esse ponto (vou chamar de ). Aqui é simples, temos que resolver um sistema. Mas temos duas equações e três incógnitas! Não rola! Será?

Quando fazemos a interseção de dois planos o resultado é uma reta com infinitos pontos. Pra determinar apenas um podemos fixar uma das variáveis, fazendo, por exemplo, . Assim o que teremos é a interseção de duas retas, e daí sim um sistema com apenas uma solução.

Dá uma olhada no passo e lembra das equações dos planos:

Fazendo (poderia ser qualquer valor! Escolhi zero por simplicidade mesmo) nas equações ali em cima ficamos:

Fazendo a soma dessas duas equações temos:

E usando qualquer uma das equações podemos achar :

Assim o ponto é . E o vetor que liga e é:

Passo 4

Agora podemos achar o vetor que é normal ao plano:

Passo 5

Eba! Estamos quase lá! Agora que temos um vetor normal ao plano e um ponto (o enunciado pediu que o plano passasse por ) é só jogar tudo isso na equação do plano:

Lembrando que são as coordenadas do vetor normal e são as coordenadas do ponto.

E podemos deixar a resposta mais simplificada, dividindo tudo por :

Obs! Se fizermos o produto vetorial entre , vamos encontrar um vetor de mesmo módulo que , porém sentido oposto. E tudo bem! A equação final também será válida! Desde que respeitemos o sentido dos vetores ;)