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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 5.Problemas Propostos - Ex. 32

Estabelecer equações paramétricas do plano determinado pelos pontos A ( 1 ,   1 ,   0 ) , B ( 2 ,   1 ,   3 ) e C ( - 1 ,   - 2 ,   4 ) .

Passo 1

Nessa questão, temos que usar desses pontos para criarmos vetores que formem um plano. Vamos começar os vetores partindo do ponto A ( 1 ,   1 ,   0 ) .

A B → = 2 ,   1 ,   3 - 1 ,   1 ,   0 = 1 ,   0 ,   3

A C → = - 1 ,   - 2 ,   4 - 1 ,   1 ,   0 = - 2 ,   - 3 ,   4

Passo 2

Com os vetores partindo de A encontrados, vamos agora abrir o sistema de equações padrão para um plano parametrizado:

x = x 0 + a 1 h + a 2 t y = y 0 + b 1 h + b 2 t z = z 0 + c 1 h + c 2 t

Passo 3

Para preencher esse sitema, vamos tomar o ponto de partida dos nosso vetores e os vetores que criamos a partir dele dessa forma:

A = x 0 ,   y 0 ,   z 0 A B → = a 1 ,   b 1 ,   c 1 A C → = ( a 2 ,   b 2 ,   c 2 )

Portanto, se:

A = 1 ,   1 ,   0 A B → = 1 ,   0 ,   3 A C → = ( - 2 ,   - 3 ,   4 )       →           x 0 = 1 y 0 = 1 z 0 = 0 a 1 = 1 b 1 = 0 c 1 = 3 a 2 = - 2 b 2 = - 3 c 2 = 4

Passo 4

Por fim, vamos preencher as equações do sistema x = x 0 + a 1 h + a 2 t y = y 0 + b 1 h + b 2 t z = z 0 + c 1 h + c 2 t com os valores encontrados no Passo 3

x = x 0 + a 1 h + a 2 t y = y 0 + b 1 h + b 2 t z = z 0 + c 1 h + c 2 t       →       x = 1 + 1 h + - 2 t y = 1 + 0 h + ( - 3 ) t z = 0 + 3 h + 4 t

x = 1 + 1 h + - 2 t y = 1 + 0 h + ( - 3 ) t z = 0 + 3 h + 4 t       →       x = 1 + h - 2 t y = 1 - 3 t z = 3 h + 4 t

Pronto, era isso que a questão pedia.

Resposta

x = 1 + h - 2 t y = 1 - 3 t z = 3 h + 4 t

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