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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 84a

Este exercício explora a diferença entre o limite

l i m x → ∞ 1 +   1 x 2 x

e o limite

l i m x → ∞ 1 +   1 x x = e

  1. Use a regra de L’ Hopital para mostrar que

l i m x → ∞ 1 +   1 x x = e

Passo 1

Primeiro iremos usar a regra

a b = e b   l n   a

para reescrever o limite.

Passo 2

Temos então:

l i m x → ∞ 1 +   1 x x = l i m x → ∞   e x   l n   1 +   1 x

Usando as propriedades do limite:

l i m x → ∞   e x   l n   1 +   1 x =   e l i m x → ∞   x   l n   1 +   1 x

Passo 3

Agora iremos calcular apenas o limite do expoente:

l i m x → ∞   x   l n   1 +   1 x

Passo 4

Se a gente substituir o limite na função, temos uma indeterminação do tipo ∞ ⋅ 0 , então iremos ajeita essa função para que tenhamos 0/0 ou ∞ / ∞ :

l i m x → ∞   x   l n   1 +   1 x = l i m x → ∞     l n   1 +   1 x 1 x = 0 0

Passo 5

Podemos agora aplicar LH, derivando em cima e em baixo:

l i m x → ∞     l n   1 +   1 x 1 x = l i m x → ∞ 1 1 + 1 x   ⋅ 1 + 1 x ' - 1 x 2 = l i m x → ∞ 1 1 + 1 x   ⋅ - 1 x 2 - 1 x 2

l i m x → ∞ 1 1 + 1 x

Passo 6

Como fugimos da indeterminação, agora podemos substituir o limite:

l i m x → ∞ 1 1 + 1 x = 1 1 + 1 ∞ = 1

Pondo de volta na função original :

l i m x → ∞ 1 +   1 x x = l i m x → ∞   e x   l n   1 +   1 x = e l i m x → ∞   x   l n   1 +   1 x = e 1 =   e

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use Lh’ospital o limiteunderset(x - 0)(lim) (2^(- s e n x) - 1)/(e^x - 1)
Use Lh’hospital para determinar o limite underset(x - 0)(lim) (2^(s e n x) - 1)/(e^x - 1)
Use Lh’ospital para determinar o limiteunderset(x - 0^+)(lim) sqrt(x) s e c x
Use Lh’hospital para determinar o limite underset(x - 0^())(lim) ((1)/(x^4) - (1)/(x^2))
Use Lh’hospital para determinar o limite underset(x - (pi)/(2)^-)(lim) sec (7 x) cos (3 x)