Grãos caem de uma calha de escoamento a uma taxa de , formando uma pilha cônica cuja altura é sempre o dobro de seu raio. Com que rapidez a altura da pilha estará crescendo no momento em que sua altura for de ?

Mas como podemos relacionar os dados de taxa de escoamento com a variação do raio e da altura? Pra isso podemos usar a fórmula de volume do cone:

A taxa de escoamento nada mais é do que a velocidade com que a pilha de grãos está sendo formada, ou seja, a velocidade de formação desse cone ()

E o enunciado nos pede a rapidez com que altura da pilha estará crescendo, ou seja,

Já que nessa questão não vamos nos preocupar em saber a taxa com que o raio do cone cresce, podemos substituir dentro da expressão do volume que

fazendo isso ficamos com:

Agora pra relacionarmos as taxas de crescimento desses caras, podemos derivar em relação ao tempo a expressão do volume:

Pela regra da cadeira:

Chegamos que:

Substituindo os valores de:

E , para aquele instante, na equação (1):

Então como a rapidez com que altura da pilha estará crescendo é basicamente Encontramos nossa resposta 😊