Enunciado

Grãos caem de uma calha de escoamento a uma taxa de 8   m 3 / m i n , formando uma pilha cônica cuja altura é sempre o dobro de seu raio. Com que rapidez a altura da pilha estará crescendo no momento em que sua altura for de 6   m ?

Passo 1

Como o enunciado fala que a altura é sempre o dobro de seu raio ( h = 2 r ), isso nos dá uma informação muito maneira. Olha só pra tangente do ângulo θ :

tan ⁡ θ = r h = r 2 r = 1 2

Isso significa que o ângulo θ é constante.

Passo 2

Mas como podemos relacionar os dados de taxa de escoamento com a variação do raio e da altura? Pra isso podemos usar a fórmula de volume do cone:

V = 1 3   π r 2 h

A taxa de escoamento nada mais é do que a velocidade com que a pilha de grãos está sendo formada, ou seja, a velocidade de formação desse cone ( d V / d t )

d V d t =   8   m 3 / m i n

E o enunciado nos pede a rapidez com que altura da pilha estará crescendo, ou seja, d h / d t .  

Já que nessa questão não vamos nos preocupar em saber a taxa com que o raio do cone cresce, podemos substituir dentro da expressão do volume que

h = 2 r       ⇒           r = h 2

fazendo isso ficamos com:

V = 1 3   π r 2 h

V = 1 3   π h 2 2 h

V = π 12 h 3

Passo 3

Agora pra relacionarmos as taxas de crescimento desses caras, podemos derivar em relação ao tempo a expressão do volume:

d V d t = d d t π 12 h 3 = π 12 d h 3 d t

Pela regra da cadeira:

d V d t = π 12 d h 3 d h d h d t

d V d t = π 12 3 h 2 d h d t

Chegamos que:

d V d t = π h 2 4 d h d t               e q u a ç ã o   ( 1 )

Passo 4

Substituindo os valores de:

d V d t =   8   m 3 / m i n

E h = 6 , para aquele instante, na equação (1):

d V d t = π h 2 4 d h d t

8 = π ( 6 ) 2 4 d h d t

8 = 36 π 4 d h d t

d h d t = 8 9 π

Então como a rapidez com que altura da pilha estará crescendo é basicamente d h / d t . Encontramos nossa resposta 😊

Resposta

8 9 π   m / m i n

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