Encontre o comprimento da curva com precisão de quatro casas decimais.(Use sua calculadora para aproximar a integral.)

r t = t ,   t ,   t 2 ,                 1 ≤ t ≤ 4

Passo 1

O comprimento de arco é dado pela fórmula geral:

L = ∫ a b | r ' t | d t

O primeiro passo então, é obter a derivada r ' ( t ) .

r ' t = ( 1 2 t ,   1 ,   2 t )

Passo 2

Agora, obtemos o módulo da função derivada r ' t . Temos

r ' t = 1 2 t 2 + 1 2 + 2 t 2

r ' t = 1 4 t + 1 + 4 t 2

Passo 3

Obtido o módulo da derivada, substituímos o valor na fórmula do comprimento de arco:

L = ∫ 1 4 | r ' t | d t

= ∫ 1 4 1 4 t + 1 + 4 t 2 d t

Utilizando uma calculadora avançada ou um software é possível obter a aproximação da integral acima. Obtemos:

1 4 t + 1 + 4 t 2 ≈ 15,3841

Resposta

L = ∫ 1 4 | r ' t | d t ≈ 15,3841

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