Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n em a .Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f x ≈ T n ( x ) quando x estiver no intervalo dado.Verifique seu resultado na parte (b) traçando R n x 20. f x = x ln ⁡ x , a = 1 , n = 3 , 0,5 ≤ x ≤ 1,5

T 3 = x - 1 + 1 2 x - 1 2 - 1 6 x - 1 3 R 3 x ≤ 4,2 × 10 - 2 y = | R 3 ( x ) |

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.11 - Ex. 20

Aproxime por um polinômio de Taylor com grau em .

Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação quando estiver no intervalo dado.

Verifique seu resultado na parte (b) traçando

20.

Passo 1

Fala, gente! Tudo belezinha?

Olha só, a questão nos deu uma função e quer, no item (a), uma aproximação dela por um polinômio de Taylor, com e (iremos fazer três integrais, show?).

A partir disso, no item (b) pedem pra gente usar uma desigualdade de Taylor e estimar a precisão da aproximação da função com o polinômio de Taylor no intervalo .

E no item (c), verificar o resultado de (b), traçando , que é básicamente .

Bora passo a passo entender e fazer essa questão.

Passo 2

Primeiramente, para encontrar os polinômios de Taylor vamos usar o formato da série de Taylor é

Para precisaremos até a terceira derivada, então derivando e substituindo no centro

Então nosso polinômio é

Passo 2

Para usar a desigualdade de Taylor temos a seguinte relação, se , então

Então para estimar o erro, vamos precisar primeiramente da quarta derivada

Agora precisamos de um valor que seja maior que essa função em todo o intervalo , para isso podemos analisar o seguinte, em todo o intervalo a função de está decrescente, então para pegarmos o maior valor da função, precisamos do menor valor do intervalo () e substituirmos, podemos dizer que