Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.2 - Ex. 16
Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Opa!! Tudo tranquilo?? Bom... o enunciado nos deu esse limite aqui:
Queremos saber se esse limite existe ou não.
Para resolver isso, a gente vai testar o limite por alguns caminhos diferentes:
- Fazendo como constante e resolvendo o limite para ;
- Fazendo como constante e resolvendo o limite para ;
- Através de uma reta qualquer , onde é um coeficiente angular qualquer e constante;
- Através da parábola .
Se, por cada um desses caminhos os limites forem iguais, então temos que analisar de uma forma mais rigorosa ao comparar os resultados a fim de verificar se ele realmente existe.
Por outro lado, se por pelo menos dois caminhos diferentes os limites derem diferentes, é porque o limite não existe!
Vamos lá então? 😉
Passo 2
Vamos primeiro tratar como uma constante e resolver o limite para , ou seja:
Colocando a constante para fora do limite, temos:
Aplicando o limite, temos:
Passo 3
Agora vamos tratar como uma constante e resolver o limite para , ou seja:
Colocando a constante para fora do limite, temos:
Aplicando o limite, temos:
Passo 4
Vamos ver pelo caminho da reta , a gente vai ter:
Vamos colocar o em evidência:
Cortando os termos iguais:
E aí se a gente substituir por temos:
Então, quando ao longo de , qualquer que seja .
Passo 5
Bom, vamos ver o limite por outro caminho agora. Se a gente for ao longo da parábola , a gente vai ter:
E substituindo o limite, obtemos:
Como todos os limites deram resultados iguais, então o limite pode ser .
Passo 6
Para verificar se a função tende a independentemente do caminho escolhido, vamos utilizar a desigualdade:
Para e suficientemente pequenos, tanto quanto são positivos e maiores que zero. Assim, considerando que:
E
Então temos:
E, de forma análoga:
Como e quando , então temos que:
E
Logo, podemos afirmar que, quando :
Então o limite existe e é igual a zero!!! 😉