Enunciado

Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x y 4 x 4 + y 4

Passo 1

Opa!! Tudo tranquilo?? Bom... o enunciado nos deu esse limite aqui:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x y 4 x 4 + y 4

Queremos saber se esse limite existe ou não.

Para resolver isso, a gente vai testar o limite por alguns caminhos diferentes:

  1. Fazendo y como constante e resolvendo o limite para x → 0 ;
  2. Fazendo x como constante e resolvendo o limite para y → 0 ;
  3. Através de uma reta qualquer y = m x , onde m é um coeficiente angular qualquer e constante;
  4. Através da parábola x = y 2 .

Se, por cada um desses caminhos os limites forem iguais, então temos que analisar de uma forma mais rigorosa ao comparar os resultados a fim de verificar se ele realmente existe.

Por outro lado, se por pelo menos dois caminhos diferentes os limites derem diferentes, é porque o limite não existe!

Vamos lá então? 😉

Passo 2

Vamos primeiro tratar y como uma constante e resolver o limite para x → 0 , ou seja:

lim x , y → 0,0 ⁡ x y 4 x 4 + y 4 = lim x → 0 ⁡ x y 4 x 4 + y 4

Colocando a constante para fora do limite, temos:

= y 4 ⋅ lim x → 0 ⁡ x x 4 + y 4

Aplicando o limite, temos:

= y 4 ⋅ 0 0 4 + y 4 ∴

= 0

Passo 3

Agora vamos tratar x como uma constante e resolver o limite para y → 0 , ou seja:

lim x , y → 0,0 ⁡ x y 4 x 4 + y 4 = lim y → 0 ⁡ x y 4 x 4 + y 4

Colocando a constante para fora do limite, temos:

= x ⋅ lim x → 0 ⁡ y 4 x 4 + y 4

Aplicando o limite, temos:

= x ⋅ 0 x 4 + 0 4 ∴

= 0

Passo 4

Vamos ver pelo caminho da reta y = m x , a gente vai ter:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f x , m x = x m x 4 x 4 + m x 4

Vamos colocar o x 4 em evidência:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , m x = x 4 m x x 4 1 + m

Cortando os termos iguais:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f x , m x = m x 1 + m x  

E aí se a gente substituir x , y   por   ( 0,0 ) temos:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f x , m x = m ⋅ 0 1 + m ⋅ 0  

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f x , m x = 0 1

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f x , m x = 0

Então, f x , y → 0   quando x , y → ( 0,0 ) ao longo de y = m x , qualquer que seja m .

Passo 5

Bom, vamos ver o limite por outro caminho agora. Se a gente for ao longo da parábola x = y 2 , a gente vai ter:

lim x , y → 0,0 ⁡ f y 2 , y = y 2 ⋅ y 4 y 8 + y 4

lim x , y → 0,0 ⁡ f y 2 , y = y 4 y 2 y 4 ( y 4 + 1 )

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f y 2 , y = y 2 y 4 + 1

E substituindo o limite, obtemos:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f y 2 , y = 0 2 0 4 + 1

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f y 2 , y = 0

Como todos os limites deram resultados iguais, então o limite pode ser 0 .

Passo 6

Para verificar se a função tende a 0 independentemente do caminho escolhido, vamos utilizar a desigualdade:

0 ≤ x y 4 x 4 + y 4 ≤ x y 4 x 4 + y 4

Para x e y suficientemente pequenos, tanto x 4 quanto y 4 são positivos e maiores que zero. Assim, considerando que:

x 4 + y 4 ≥ x 4

E

x 4 + y 4 ≥ y 4

Então temos:

x y 4 x 4 + y 4 ≤ x y 4 y 4 = x

E, de forma análoga:

x y 4 x 4 + y 4 ≤ x y 4 x 4 ≈ y 4

Como x → 0 e y → 0 quando x , y → 0,0 , então temos que:

y 4 → 0

E

x → 0

Logo, podemos afirmar que, quando x , y → 0,0 :

x y 4 x 4 + y 4 → 0

Então o limite existe e é igual a zero!!! 😉

Resposta

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x y 4 x 4 + y 4 = 0

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