a) Encontre a inclinação da reta tangente à trocoide x = r * θ - d * sen θ , y = r - d * cos(theta) em termos de theta .

b) Mostre que, se d < r , então a trocoide não tem uma tangente vertical.

Passo 1

O problema fornece a equação paramétrica de uma curva chamada trocoide:

x = r θ - d   s e n   θ

y = r - d cos ⁡ θ

No item (a) queremos achar a inclinação da reta tangente, que é dada por

m = d y d θ d x d θ

Além disso, no item (b) o enunciado nos pede para provar que, para d < r nós nunca teremos uma tangente vertical, mas o que isso significa?

Para que a tangente seja vertical, então m tende ao infinito! De forma que, na equação da reta tangente, isso ocorre para

d x d θ = 0

Dessa forma, só precisamos confirmar que isso não ocorrerá para d < r !

Passo 2

Seja a inclinação da reta tangente de uma curva paramétrica dada por

m = d y d θ d x d θ

Onde temos

d x d θ = r - d cos ⁡ θ

d y d θ = d   s e n   θ

Assim, a inclinação da tangente será

m = d   s e n   θ r - d cos ⁡ θ

Passo 3

A tangente será horizontal se m = 0 . Para isso, basta que o numerador seja nulo: s e n   θ = 0 . Por outro lado, para que tangente seja vertical, a inclinação deve explodir para ± ∞ . Para que isso ocorra, o denominador deve ser nulo!

d x d θ = 0

Ou ainda

r - d cos ⁡ θ = 0

cos ⁡ θ = r d

Como - 1 ≤ cos ⁡ θ ≤ 1 , isso só pode ocorrer se r < d . Portanto, para r > d , o denominador não pode se anular e a curva não vai admitir tangente vertical!

Resposta

m = d   s e n   θ r - d cos ⁡ θ

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