Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 27
a) Encontre a inclinação da reta tangente à trocoide , em termos de .
b) Mostre que, se , então a trocoide não tem uma tangente vertical.
Passo 1
O problema fornece a equação paramétrica de uma curva chamada trocoide:
No item (a) queremos achar a inclinação da reta tangente, que é dada por
Além disso, no item (b) o enunciado nos pede para provar que, para nós nunca teremos uma tangente vertical, mas o que isso significa?
Para que a tangente seja vertical, então tende ao infinito! De forma que, na equação da reta tangente, isso ocorre para
Dessa forma, só precisamos confirmar que isso não ocorrerá para !
Passo 2
Seja a inclinação da reta tangente de uma curva paramétrica dada por
Onde temos
Assim, a inclinação da tangente será
Passo 3
A tangente será horizontal se . Para isso, basta que o numerador seja nulo: . Por outro lado, para que tangente seja vertical, a inclinação deve explodir para . Para que isso ocorra, o denominador deve ser nulo!
Ou ainda
Como , isso só pode ocorrer se . Portanto, para , o denominador não pode se anular e a curva não vai admitir tangente vertical!