Se a população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas, então o número de bactérias após t horas é n = f t = 100 . 2 t / 3 (veja o Exercício 29 na Seção 1.5).(a) Encontre a função inversa e explique seu significado.(b) Quando a população atingirá 50000 bactérias?

a) t = f - 1 n = 3 ln ⁡ n / 100 ln ⁡ 2 b)Após aproximadamente 26,9 horas (26 horas e 53 minutos)

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 1.5 - Ex. 61

Se a população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas, então o número de bactérias após t horas é (veja o Exercício 29 na Seção 1.5).

(a) Encontre a função inversa e explique seu significado.

(b) Quando a população atingirá bactérias?

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... a questão nos dá a seguinte função que expressa o número de bactérias após horas:

A questão nos diz que a população de bactérias começa com e dobra a cada três horas.

Queremos encontrar a função inversa e saber após quanto tempo a população atingirá bactérias.

Para isso, iremos colocar em pratica nosso conhecimento relacionado as funções inversas.

Na maioria das vezes, calcular a inversa é um processo bem simples: mudamos e e isolamos novamente.

Nessa questão, na função fornecida obtém-se o valor de através de , ou seja, , e para chegarmos na expressão da inversa, basta pegar a equação , e assim isolar a variável , para que assim tenhamos em função de , ou seja, a função inversa .

Complicado ? Confia que é mais facil fazer do que falar hehe. Bora lá!! 😉

Passo 2

Primeiro vamos mexer na função para deixar sozinho em um lado.

está no expoente, então precisamos jogar isso para base.

Conseguimos fazer isso aplicando nos dois lados:

Usando propriedade de logaritmos conseguimos isolar :

Mas se liga na seguinte propriedade dos logaritmos:

Assim, podemos dizer que:

Agora precisamos interpretá-la!

Passo 3

Com a inversa calculada, podemos agora extrair um significado disso.

Se antes, medindo o tempo podíamos calcular o número de bactérias, com a função inversa, tendo medido o número de bactérias podemos calcular quanto tempo se passou desde o momento da população inicial de bactérias.

Passo 4

O item (b) dessa questão cobra exatamente o significado da função inversa visto no passo anterior, ou seja, queremos saber quanto tempo se passou do instante inicial, quando a população era de , até o instante em que a população alcançou um total de bactérias.