Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.8 - Ex. 17

Uma partícula se move ao longo dos segmentos de reta da origem para os pontos e de volta a origem sob a influência do campo de força

Encontre o trabalho realizado.

Passo 1

Fala, galerinha! Tudo bem?

A questão pede o trabalho realizado por uma partícula que sai e volta da origem, passando pelos segmentos de retas da origem até os pontos no campo de força:

Bom, pessoal, o trabalho feito pela força ao mover a partícula ao longo da nossa curva é dado por

O teorema de Stokes nos diz que

Onde é a fronteira da superfície orientada no sentido anti-horário. Seja a região dentro do retângulo formado pelos quatro pontos dados. Então, o que vamos precisar fazer aqui é calcular a integral:

Onde , e são componentes do rotacional de e e são derivadas parciais da nossa superfície , dada por uma equação . Então, através dos 4 pontos dados, vamos achar uma equação que descreva o plano formado por eles.

Também vamos calcular o rotacional do campo de força , assim vamos ter todos os termos da equação e é só substituir e calcularmos nossa integral dupla como já sabemos!

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar calculando o rotacional do nosso campo de força :

Por definição, temos a seguinte equação:

Aqui, , e são as componentes do campo de força . Então:

Substituindo na equação:

Resolvendo as derivadas parciais, temos:

Pronto! Temos nosso rotacional.

Passo 3

Nós precisamos achar a equação do plano que passa pelos quatro pontos dados no enunciado, já que precisamos da equação da nossa superfície e o enunciado não deu. Aqui está o esquema dos pontos no espaço:

Isso é tranquilo, vamos passo a passo:

Seja a equação para um plano da forma

No ponto do plano: (equação)
No ponto do plano:
No ponto do plano:

Vamos subtrair a equação da equação . Assim, temos

Substituindo o valor de na equação , encontramos que . Logo, a equação do plano se torna:

Usando a equação para substituir :

Pronto, agora temos nossa função:

Passo 4

Se a superfície é da forma e é orientada para cima, podemos usar a fórmula:

Vamos nos atentar porque aqui , e são componentes do nosso rotacional:

Retomando nosso rotacional:

Assim, temos as componentes:

Calculamos também as derivadas parciais da equação:

Derivada em :

Derivada em :

Agora podemos substituir na nossa equação:

Somando os termos:

Substituindo

Temos:

E subtraindo os termos da integral, ficamos finalmente com:

Passo 4

Veja que para resolvermos nossa integral dupla, ainda faltam os limites de integração da região .

é a projeção da superfície , que acaba sendo um retângulo formado no plano pelos pontos e . Se olharmos para o gráfico, podemos definir os limites de integração de e .