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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 1o

Resolva a equação diferencial abaixo:

(d x)/(d t) = (t x)/(1 + t^2)

Passo 1

Okay rapaziada, a gente percebe que essa função, temos que separar as variáveis e a partir dai isolar o nossas variaveis. Primeiro a gente observa que:

(d x)/(d t) = (t x)/(1 + t^2)

Isolando cada variável para o lado do seu diferenciavel:

d x * 1 + t^2 = d t * t x

Dividindo tudo por x:

(d x)/(x) * 1 + t^2 = d t * t

Passando o 1 + t^2 para o outro lado:

(d x)/(x) = (t)/(1 + t^2) d t

Passo 2

Portanto, agora basta integrarmos os dois lados!! Vamos primeiro para o lado esquerdo!!

(t)/(1 + t^2) d t -> int (t)/(1 + t^2) d t

Por tabela:

int (t)/(1 + t^2) d t = (1)/(2) log (t^2 + 1) + k

Passo 3

Para o nosso lado direito, temos que:

(d x)/(x) -> int (d x)/(x) = ln | x | + k

Agora, basta voltarmos para nossa configuração inicial:

(d x)/(x) = (t)/(1 + t^2) d t

int (d x)/(x) = int (t)/(1 + t^2) d t

ln | x | + k = (1)/(2) log (t^2 + 1) + k

Resposta

ln | x | + k = (1)/(2) log (t^2 + 1) + k

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