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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.4 - Ex. 10

Movimento de um projétil na Lua Uma pedra atirada verticalmente para cima a partir da superfície da Lua com velocidade de 24   m / s (cerca de 86   k m / h ) atinge uma altura de s = 24 t - 0,8 t 2 metros em t segundos.

  1. Determine a velocidade e a aceleração da pedra no instante t. (Nesse caso, a aceleração é a aceleração da gravidade na Lua.)
  2. Quanto tempo a pedra leva para atingir o ponto mais alto?
  3. Qual a altura atingida pela pedra?
  4. Quanto tempo a pedra leva para atingir a metade de sua altura máxima?
  5. Por quanto tempo a pedra fica no ar?

Passo 1

Na letra a.) precisamos encontrar a função da velocidade e para isso vamos derivar a função espaço.

v = 24 t - 0,8 t 2 '

v = 24 t 1 - 1 - 2 ∙ 0,8 t 2 - 1

v = 24 - 1,6 t

Em seguida, vamos achar a função da aceleração:

a = 24 - 1,6 t '

a = 0 - 1,6 t 1 - 1

a = - 1,6   m / s 2

Passo 2

O ponto mais alto da pedra é atingido justamente quando tem mudança de direção na velocidade. Portanto,

24 - 1,6 t = 0

- 1,6 t = - 24

t = 24 1,6 = 15   s

Passo 3

A altura máxima atingida pela pedra é:

s 15 = 24 ∙ 15 - 0,8 ∙ 15 2

s 15 = 24 ∙ 15 - 0,8 ∙ 225

s 15 = 15 24 - 0,8 ∙ 15 = 180   m

Passo 4

O tempo que a pedra leva para atingir metade da altura máxima 180 2 é igual a:

180 2 = 24 t - 0,8 t 2

0,8 t 2 - 24 t + 90 = 0

Utilizando Bhaskara:

t = 24 ± - 24 2 - 4 ∙ 0,8 ∙ 90 2 ∙ 0,8

t = 24 ± 576 - 288 1,6

t = 24 ± 288 1,6

t = 24 ± 2 ∙ 144 1,6

t = 24 ± 12 2 1,6

t 1 = 4,4   s

t 2 = 25,6   s

Passo 5

Como a pedra leva 15   s para atingir a máxima temperatura e como a função espaço é uma parábola, se a pedra leva 15   s para subir, ela vair levar mais 15   s para cair. Assim, a pedra fica 30   s no ar.

Resposta

  1. v = 24 - 1,6 t ; a = - 1,6   m / s 2
  2. 15   s
  3. 180   m
  4. t 1 = 4,4   s ; t 2 = 25,6   s
  5. 30   s
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