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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 36

A porção superior cortada do sólido no Exercício 35 pelo plano xy.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício faremos:a. Encontraremos os limites em coordenadas esféricas para a integral que estima o volume do sólido dado, eb. Resolveremos a integral.A porção do sólido do exercício 35 desta seção cortado pelo plano x y .

Passo 2

a. O volume referente ao sólido pedido é:

V = ∫ 0 2 . π   ∫ 0 π / 2   ∫ 1 1 - c o s ⁡ ϕ   ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Passo 3

b. Resolveremos então a integral para encontrarmos o volume do sólido:

V = ∫ 0 2 π     ∫ 0 π / 2     ∫ 1 1 - c o s ⁡ ϕ     ρ 2 s e n ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ V = 1 3 ∫ 0 2 π     ∫ 0 π / 2     ( 1 - c o s ⁡ ϕ ) 3 s e n ⁡ ϕ d ϕ d θ V = 1 3 ∫ 0 2 π     ( 1 - c o s ⁡ ϕ ) 4 4 0 π / 2 d θ V = 1 12 ∫ 0 2 π     d θ V = 1 12 ( 2 π ) V = π 6

Resposta

Resposta: o volume é V = π 6 .

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Calcule o volume do conjuntox^2 + y^2 + z^2 = 2 * a * z e z = sqrt(x^2 + y^2) , a0 .
Calcule o volume do conjuntox^2 + y^2 + z^2 = 2 * a * x e z = sqrt(x^2 + y^2) , a0 .
Calculee) int int int_B z * d x * d y * d z onde B é conjuntoz = sqrt(x^2 + y^2) , x^2 + y^2 + z^2 = 1 .
Calculec) int int int_B x * d x * d y * d z onde B é o conjunto (x^2)/(4) + (y^2)/(9) + z^2 = 1 , x = 0 .
Calculeb) int int int_B z * d x * d y * d z onde B é o conjunto z = 0 , 1 = x^2 + y^2 + z^2 = 4 .