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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.5 - Ex. 1c

Calcule

c) int int int_B x * d x * d y * d z onde B é o conjunto (x^2)/(4) + (y^2)/(9) + z^2 <= 1 , x >= 0 .

Passo 1

Nesse problema iremos calcular a integral tripla usando uma transformação para coordenadas esféricas e calcular o jacobiano, além de analisar o intervalo de integração.

Passo 2

Bom, vamos começar! Temos que nosso conjunto é dado e precisamos nos atentar ao fato de que x >= 0 , ou seja, nossa esfera será meia esfera apenas. Aplicando a transformação para coordenadas esféricas, temos que

x = 2 * rho * sin varphi * cos theta

y = 3 * rho * sin varphi * sin theta

z = rho * cos varphi

Com o jacobiano sendo d x * d y * d z = 6 * rho^2 * d rho * d theta * d varphi . Os novos intervalos de integração serão

0 <= rho <= 1

- (pi)/(2) <= theta <= (pi)/(2)

0 <= varphi <= pi

Para varphi temos esse intervalo especifico por causa que teremos apenas sua metade positiva de x . Substituindo na integral, ficamos com

int int int_B x * d x * d y * d z = int_0^(pi) int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) int_0^1 2 * rho * cos theta * sin varphi * 6 * rho^2 * sin varphi * d rho * d theta * d varphi =

= 12 * int_0^(pi) sin^2 varphi * d varphi * int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) cos theta * d theta * int_1^1 rho^3 * d rho = 3 * pi

Resposta

int int int_B z * d x * d y * d z = 3 * pi

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A latitude e a longitude de um ponto P no hemisfério norte estão relacionadas com as coordenadas esféricas ρ ,θ ,ϕ como a seguir. Tomamos a origem como o centro da Terra e o eixo z passando pelo norte
Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. ρ ≤ 1 , 3 π 4 ≤ ϕ ≤ π
Determine o volume delimitado pelo toro ρ = s e n ϕ Utilize um computador para desenhar o toro
Determine o volume do sólido que é limitado pelo cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 6 , π / 3 , π / 6 ) ( 3 , π / 2 , 3 π / 4 )