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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.5 - Ex. 1b

Calcule

b) int int int_B z * d x * d y * d z onde B é o conjunto z >= 0 , 1 <= x^2 + y^2 + z^2 <= 4 .

Passo 1

Nesse problema iremos calcular a integral tripla usando uma transformação para coordenadas esféricas e calcular o jacobiano, além de analisar o intervalo de integração.

Passo 2

Bom, vamos começar! Temos que nosso conjunto é dado e precisamos nos atentar ao fato de que z >= 0 , ou seja, nossa esfera será meia esfera apenas. Aplicando a transformação para coordenadas esféricas, temos que

x = rho * sin varphi * cos theta

y = rho * sin varphi * sin theta

z = rho * cos varphi

Com o jacobiano sendo d x * d y * d z = rho^2 * sin varphi * d rho * d theta * d varphi . Os novos intervalos de integração serão

1 <= rho <= 2

0 <= theta <= 2 * pi

0 <= varphi <= (pi)/(2)

Para varphi temos esse intervalo especifico por causa que teremos apenas sua metade positiva de z . Substituindo na integral, ficamos com

int int int_B z * d x * d y * d z = int_0^(pi) int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) int_0^2 rho * cos varphi * rho^2 * sin varphi d rho * d theta * d varphi =

= int_0^((pi)/(2)) sin varphi * cos varphi * d varphi * int_0^(2 * pi) d theta * int_1^2 rho^3 * d rho = (1)/(2) * [sin^2 varphi]_0^((pi)/(2)) * 2 pi * ((16)/(4) - (1)/(4)) =

= 1 * pi * (15)/(4) = (15 * pi)/(4)

Resposta

int int int_B z * d x * d y * d z = (15 * pi)/(4)

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