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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.5 - Ex. 5

Calcule o volume do conjunto

x^2 + y^2 + z^2 <= 2 * a * x e z >= sqrt(x^2 + y^2) , a > 0 .

Passo 1

Nesse problema iremos calcular a integral tripla, que nos da o volume do sólido, usando uma transformação para coordenadas esféricas e calculando o jacobiano, além de analisar o intervalo de integração.

Passo 2

Bom, vamos começar! Primeiro vamos aplicar uma transformação de coordenadas, pois aparentemente se tornará mais fácil trabalhar com coordenadas esféricas (e também por estarmos no capítulo de integral tripla coordenadas esféricas). Assim, ficamos com

x = rho * sin varphi * cos theta

y = rho * sin varphi * sin theta

z = rho * cos varphi

Com o jacobiano sendo d x * d y * d z = rho^2 * sin varphi * d rho * d theta * d varphi . Os novos intervalos de integração serão

0 <= rho <= 2 * a * sin varphi * cos theta

0 <= theta <= 2 * pi

0 <= varphi <= (pi)/(4)

Substituindo na integral, ficamos com

V = int int int_B d x * d y * d z = int_0^((pi)/(4)) int_0^(2 * pi) int_0^(2 * a * sin varphi * cos theta) sin varphi * rho^2 * d rho * d theta * d varphi =

= int_0^((pi)/(4)) sin varphi * d varphi * int_0^(2 * pi) d theta * int_0^(2 * a * sin varphi * cos theta) rho^2 * d rho = int_0^((pi)/(4)) sin varphi * d varphi * int_0^(2 * pi) d theta * [(rho^3)/(3)]_0^(2 * a * sin varphi * cos theta) =

= (8)/(3) * a^3 * int_0^((pi)/(4)) sin^3 varphi * sin varphi * d varphi * int_0^(2 * pi) cos^3 theta * d theta = (8)/(3) * a^3 * (- (1)/(16) + (3 * (pi - 2))/(32)) * 0 = 0

Resposta

V = int int int_B d x * d y * d z = 0

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