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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 73

Momento de inércia de um cone sólido Encontre o momento de inércia de um cone circular reto com raio de base 1

e altura 1 em relação ao eixo passando pelo vértice paralelo à

base. (Tome d = 1.)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Sabemos calcular o momento de inércia em coordenadas cartesianas, certo? Comor é a distância do ponto ( x , y , z ) na região D a uma reta L , então o momento de inércia ou os segundos momentos dependem da densidade.Vamos aplicar esses conceitos e as fórmulas em coordenadas cilíndricas?Acompanhe a resolução!

Passo 2

Neste exercício temos um cone circular reto com raio da base igual a 1 e altura 1 em relação a um eixo que passa pelo vértice e é paralelo à base. Iremos assumir uma densidade δ = 1 .

Passo 3

Vamos orientar o cone com o vértice na origem e eixo ao longo do eixo z. Então teremos ϕ = π 4 Utilizaremos o eixo x como o eixo que passa pelo vértice e é paralelo à base do cone.Os limitantes das integrais podem ser dados por:O valor de r é definido pelo raio da base:

0 ≤ r ≤ 1

O intervalo de z é definido pela altura, então:

r ≤ z ≤ 1

Por fim, temos o ângulo θ c o m ⁡ 0 intervalo:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 4

Agora podemos calcular o momento de inércia em relação ao eixo x :

I x   = ∫ 0 2 π     ∫ 0 1     ∫ r 1     r 2 s e n 2 ⁡ θ + z 2 d z r d r d θ   = ∫ 0 2 π     ∫ 0 1     r 3 s e n 2 ⁡ θ - r 4 s e n 2 ⁡ θ + r 3 - r 4 3 d r d θ   = ∫ 0 2 π     s e n 2 ⁡ θ 20 + 1 10 d θ

Resolvendo a última integral teremos:

I x   = θ 40 - s e n ⁡ 2 θ 80 + θ 10 0 2 π   = π 20 + π 5   = π 4

Resposta

Concluímos que o momento de inércia do cone é π 4 .

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