Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 54
Três alelos (versões alternativas de um gene) A, B e O determinam os quatro tipos de sangue: A (AA ou AO), B (BB ou BO), O (OO) e AB. A Lei de Hardy-Weinberg afirma que a proporção de indivíduos em uma população que carregam dois alelos diferentes é
onde , e são as proporções de A, B e O na população. Use o fato de que para mostrar que é no máximo .
Passo 1
A questão dá um contexto bonitinho para a seguinte função
E nos pede para provar que o valor máximo de é usando a seguinte expressão
Dessa forma, o melhor jeito de encontrar o valor máximo de é procurando pontos críticos!
Assim, a gente só precisa adaptar a função para que relacione essas duas expressões e procurar pontos onde as derivadas parciais de são iguais a zero!
Passo 2
Temos
De forma que podemos reescrever o seguinte
Dessa forma, substituindo em
Ou ainda
Onde podemos deduzir a que
Show! Agora para encontrar o valor máximo de , precisamos encontrar os pontos críticos, isto é, pontos onde
Dessa forma, determinando as derivadas parciais temos
Igualando essas expressões a zero, temos
E ainda
Passo 3
Igualando essas expressões, temos
Agora substituímos esse valor de em uma das expressões de :
De forma que encontramos o ponto crítico
Passo 4
Como só encontramos um ponto já podemos jogar direto na fórmula de
Agora, lembre-se que temos que comparar esse valor com os valores de nas fronteiras (as restrições de e que definimos) pois o ponto de máximo também poderia estar contido nelas!
Dessa forma temos
Coincidentemente, para nossa alegria, todas as três fronteiras nos deram as mesmas parábolas cujo valor máximo é:
Então, realmente, o ponto crítico nos deu o maior valor de , então provamos que é no máximo .
Resposta
O valor máximo de é
Como proposto!