Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 1 j
Estude com relação aos máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.
c) e
Passo 1
Perceba que precisamos usar multiplicador de Lagrange, mas precisamos de um superfície para fazer a restrição .Nos foi dada a restrição, vamos chama-la de
Vamos relembrar como funciona o multiplicador de lagrange
Passo 2
Então, precisamos encontrar o gradiente das funções. Vamos lá!
Logo,
Vamos agora para a função
Logo,
Passo 3
Substituindo os dados no sistema
Podemos reescrever o sistema,
Da ultima equação
Passo 4
Substituindo na segunda equação e igualando com a primeira
Como é crescente, temos que é um ponto de mínimo e é ponto de máximo.
Resposta
é um ponto de mínimo e é ponto de máximo.
Exercícios de Livros Relacionados
Determine o ponto do elipsoide x 2 + 4 y 2 + z 2 = 1 que maximiza a soma x + 2 y + z .
Considere a forma quadrática Q x , y = a x 2 + 2 b x y + c y 2 . Sejm Q x 1 ,y 1 ,Q x 2 , y 2 os valores mínimo e máximo de Q ( x , y ) em A =x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 = 1 . Prove:Se Q x 1 ,y 10 , então Q
(Teorema de Weirestrass). Seja A ⊂ R 2 compacto e seja f : A → R contínua. Prove que f assume um valor máximo e um valor mínimo.
Suponha A um subconjunto fechado do R 2 e x 0 ,y 0 um ponto de acumulação de A . Prove que x 0 ,y 0 ∈ A
Seja A um subconjunto fechado do R 2 e seja f : A → R contínua. Prove que f é limitada em A . (Sugestão: Suponha que f não seja limitada e construa uma sequência de retângulos como a do exercício 11,