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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 73

Use a tabela de valores de f ( x , y ) para estimar os valores de f x 3,2 , f x 3 ,   2,2 e f x y 3,2 .

Passo 1

Show de bola, galera! Precisamos ver como vamos fazer pra estimar aquelas derivadas parciais do enunciado... Vamos retomar a tabela com os valores da função f :

A questão quer que a gente estime a derivada parcial da função f ( x , y ) em três pontos dados .

Primeiro, vamos entender como estimar a derivada para um certo ponto, depois repetimos o procedimento para os outros, beleza?

Passo 2

Começando por f x 3,2 …

A ideia geral consiste em usar a definição de derivada parcial.

Se temos uma função f ( x , y ) e queremos calcular a derivada de f com relação a x , nós temos que deixar a variável y fixa e fazer pequenas variações em torno do valor de   x .

Matemáticamente, escrevemos:

f x x , y = lim h → 0 ⁡ f x + h ,   y - f x , y h

Na nossa tabela, para um valor fixo de y só há dois valores possíveis de x para fazermos essa variação.

Por exemplo, para o ponto 3,2 ,   fixamos y = 2 e variamos x . A menor variação possível para x é h = ± 0,5 . Com essa variação, estimaremos a derivada com relação a x utilizando também os pontos ( 2,5 ,   2,0 ) e ( 3,5 , 2,0 ) .

Vamos fazer o seguinte:

f x , 1 3,2  estimativa 1 para  f x 3,2

f x , 2 3,2  estimativa 2 para  f x 3,2

A derivada será a média dessas estimativas:

f x 3,2 ≅ f x , 1 3,2 + f x , 2 3,2 2

Depois disso, vamos repetir a dose para f x 3 ,   2,2 , ou seja:

f x , 1 3 ,   2,2  estimativa 1 para  f x 3 ,   2,2

f x , 2 3 ,   2,2  estimativa 2 para  f x 3 ,   2,2

f x 3 ,   2,2 ≅ f x , 1 3 ,   2,2 + f x , 2 3 ,   2,2 2

Por último, vamos aproveitar essas 2 primeiras estimativas de f x 3,2 e de f x 3 ,   2,2 para calcular a seguinte estimativa:

f x y 3,2 ≅ f x 3 ,   2,2 - f x 3,2 0,2

Vamos às contas agora!

Passo 3

Vamos às contas começando por f x 3,2 :

f x , 1 3,2 = f 3.5,2 ⏞ 22,4 - f 3,2 ⏞ 17,5 0,5 = 9,8

f x , 2 3,2 = f 2.5,2 ⏞ 10,2 - f 3,2 ⏞ 17,5 - 0,5 = 14,6

Então,

f x 3,2 ≅ f x , 1 3,2 + f x , 2 3,2 2 = 9,8 + 14,6 2 = 12,2

Passo 4

Agora vamos calcular f x 3,2 , 2 :

f x , 1 3 ,   2,2 = f 3.5 ,   2,2 ⏞ 26,1 - f 3 ,   2,2 ⏞ 17,5 0,5 = 17,2

f x , 2 3 ,   2,2 = f 2.5 ,   2,2 ⏞ 9,3 - f 3 ,   2,2 ⏞ 17,5 - 0,5 = 16,4

Assiiimm....

f x 3 ,   2,2 ≅ f x , 1 3 ,   2,2 + f x , 2 3 ,   2,2 2 = 17,2 + 16,4 2 = 16,8

Passo 5

Por fim, podemos calcular f x y 3,2 :

f x y 3,2 ≅ f x 3 ,   2,2 - f x 3,2 0,2

f x y 3,2 ��� f x 3 ,   2,2 - f x 3,2 0,2 = 16,8 - 12,2 0,2 = 23

Resposta

f x 3,2 ≅ 12,2

f x 3 ,   2,2 ≅ 16,8

f x y 3,2 ≅ 23

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11. Sejam x = x ( u , v ) e y = y u , v duas funções que admitem derivadas parciais num mesmo aberto A . Suponha que (1,1) ∈ e que x 1,10 . Suponha, ainda, que para todo ( u , v ) ∈ A x 3 + y 3 = u -
10. Seja u = f x - a t + g ( x + a t ) , onde f e g são duas funções quaiquer de uma variável real ederiváveis até a 2ª ordem. Verifique que ∂ 2 u ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 u ∂ x 2 .
12. Seja z = x y e^((x)/(y)) . Verifique quex (del^3 z)/(del x^3) + y (del^3 z)/(del y del x^2) = 0 .
8. Seja f (x , y) = {[[(x y (x^2 - y^2))/(x^2 + y^2) s e (x , y) != (0,0)],[0 s e (x , y) = (0,0)]]) . Calcule (del^2 f)/(del x del y) (0,0) e (del^2 f)/(del y del x) (0,0) .
15. Seja z = f x , y ,x , y ∈ A , com A aberto. Suponha que ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y estão definidas em A e que ∂ 2 f ∂ x∂ y e ∂ f ∂ y∂ x são contínuas em A. Seja ( x 0 , y 0 ) um ponto qualquer de A ; seja