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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 1 g

Estude com relação aos máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.

g) f x , y = x 2 - 2 x y + y 2 e x 2 + y 2 = 1

Passo 1

Perceba que precisamos usar multiplicador de Lagrange, mas precisamos de um superfície para fazer a restrição .Nos foi dada a restrição, x 2 + y 2 = 1 vamos chama-la de g x , y = x 2 + y 2 - 1  

Vamos relembrar como funciona o multiplicador de lagrange

∇ f x , y = λ ∇ g x , y g x , y = 0

Passo 2

Então, precisamos encontrar o gradiente das funções. Vamos lá!

∂ f ∂ x x , y = 2 x - 2 y     ∂ f ∂ y x , y = 2 y - 2 x  

Logo,

∇ f x , y = 2 x - 2 y , 2 y - 2 x  

Vamos agora para a função g .  

∂ g ∂ x x , y = 2 x   ∂ f ∂ y x , y = 2 y

Logo,

∇ g x , y = 2 x , 2 y

Passo 3

Substituindo os dados no sistema

2 x - 2 y , 2 y - 2 x   = λ 2 x , 2 y x 2 + y 2 = 1

Podemos reescrever o sistema,

2 x - 2 y = 2   λ x 2 y - 2 x = 2 λ y x 2 + y 2 = 1

Considere apenas o sistema

2 x - 2 y = 2   λ x 2 y - 2 x = 2 λ y        

Subtraindo segunda equação da primeira

2   λ x =     2 λ y         ⟹ x = y

Substituindo na segunda equação

x = 8 λ y = 1 2 y   ⟹

2 x = y        

Passo 4

Substituindo na ultima equação

x 2 + y 2 = 1   ⟹

2 x 2 = 1   ⟹

x =   ± 1 2 = y

Como g é crescente - 1 2 ,   - 1 2 é um ponto de mínimo e ( 1 2 , 1 2 ) é ponto de máximo.

Resposta

- 1 2 ,   - 1 2 é um ponto de mínimo e ( 1 2 , 1 2 ) é ponto de máximo.

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