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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 53

Calcule a integral.

int x^2 senh m x d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já está simplificada, então vamos ver se dá para usar Substituição Simples. Infelizmente não tem nenhuma parte dentro da integral que seja derivada dela, então vamos tentar Integração por Partes:

int f (x) g^' (x) d x = f (x) g (x) - int g (x) f^' (x) d x

Vamos fazer então f (x) = x^2 e g ' (x) = senh m x d x :

f^' (x) = 2 x d x e g (x) = (1)/(m) cosh m x

Vamos substituir agora:

int x^2 senh m x d x = (x^2)/(m) cosh m x - int (2 x)/(m) cosh m x d x = (x^2)/(m) cosh m x - (2)/(m) int x cosh m x d x

Passo 2

Vamos usar Integração por Partes novamente:

int f (x) g^' (x) d x = f (x) g (x) - int g (x) f^' (x) d x

Vamos fazer então f (x) = x e g ' (x) = cosh m x d x :

f^' (x) = d x e g (x) = (1)/(m) senh m x

Vamos substituir agora:

int x cosh m x d x = (x)/(m) sen h m x - int (1)/(m) sen h m x d x = (x)/(m) senh m x - (1)/(m) int senh m x d x

É fácil achar a primitiva da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int senh x d x = cosh x + C

Então ficamos com:

int x cosh m x d x = (x)/(m) senh m x - (1)/(m) int senh m x d x = (x)/(m) senh m x - (1)/(m^2) cosh m x + C

Passo 3

Agora voltando a primeira expressão:

int x^2 senh m x d x = (x^2)/(m) cosh m x - (2)/(m) int x cosh m x d x = (x^2)/(m) cosh m x - (2)/(m) ((x)/(m) senh m x - (1)/(m^2) cosh m x) + C

Resposta

int x^2 senh m x d x = (x^2)/(m) cosh m x - (2)/(m) ((x)/(m) senh m x - (1)/(m^2) cosh m x) + C

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